Couples d'entiers naturels

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Julien

Couples d'entiers naturels

Message par Julien » jeu. 18 févr. 2021 21:09

Bonjour, merci de m'aider pour mon dm de maths je ne comprend pas comment faire svp
Sujet:
On considère l'équation : x^2 - 5y^2 =1 où x et y sont des entiers naturels.
On suppose que (x;y) est un couplé solution de l'équation.
1. x et y peuvent-ils avoir la même parité? Justifier.
2. Démontrer que x et y sont premiers entre eux.
3. Compléter un tableau que je ne peux pas reproduire mais j'ai compris (pour trouver les restes de la division euclidienne de k^2 par 5 avec k allant de 0 à 4.
Je trouve dans l'ordre : 0,1,-1,-1,1.
4. En déduire que x=(congru) 1 (5) ou x=(congru) 4 (5).

Merci beaucoup à ceux qui pourront m'aider.
sos-math(21)
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Re: Couples d'entiers naturels

Message par sos-math(21) » jeu. 18 févr. 2021 21:31

Bonjour,
Pour la parité, si tu prends deux nombres pairs, cela signifie qu'il existe deux entiers naturels \(k\) et \(k'\) tels que \(x=2k\), \(y=2k'\).
En remplaçant dans l'équation, tu obtiens \(4k^2-20k'^2=1\) soit \(4(k^2-5k'^2)=1\) ce qui est impossible dans les entiers naturels donc contradiction.
De même, si tu les supposes tous les deux impairs, il existe deux entiers naturels \(k\) et \(k'\) tels que \(x=2k+1\), \(y=2k'+1\) : je te laisse faire le même raisonnement pour établir le même type de contradiction.
Si tu considère \(d\) un diviseur commun à \(x\) et \(y\), alors \(d\) divise \(x^2\) et \(d\) divise \(y^2\) donc \(d\) divise \(x^2-5y^2=1\), et \(d=1\) : les deux nombres sont premiers entre eux.
Pour la dernière question, l'équation \(x^2-5y^2=1\) est équivalente à \(x^2-1=5y^2\) donc \(x^2-1\) est divisible par 5 donc est congru à 0 modulo 5, ce que l'on peut écrire aussi \(x^2\equiv 1\,[5]\).
Il te reste ensuite à faire le lien avec la question précédente.
Bonne continuation
Invité

Re: Couples d'entiers naturels

Message par Invité » jeu. 18 févr. 2021 21:58

Merci beaucoup pour ta réponse rapide.
Je pense avoir à peu près compris, je pense y arriver plus facilement merci.
sos-math(21)
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Re: Couples d'entiers naturels

Message par sos-math(21) » jeu. 18 févr. 2021 22:01

Bonjour Julien (ou invité ?),
la fin de l'exercice ne devrait pas poser de problème mais il n'y aurait pas d'autres questions ?
J'ai l'impression que l'étude de l'équation n'est pas terminée.
Bonne continuation
Invité

Re: Couples d'entiers naturels

Message par Invité » jeu. 18 févr. 2021 22:07

Oui je suis Julien désolé.
Et non l'exercice est terminé, merci de ton aide.
sos-math(21)
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Re: Couples d'entiers naturels

Message par sos-math(21) » jeu. 18 févr. 2021 22:09

Ok Julien,
donc tu devrais pouvoir terminer ton exercice sans trop de difficultés.
À bientôt sur sos math
Invité

Re: Couples d'entiers naturels

Message par Invité » jeu. 18 févr. 2021 22:54

En reprenant les questions, je ne comprend pas ta réponse à la question 2.
As-tu sauté des étapes ?
Invité

Re: Couples d'entiers naturels

Message par Invité » jeu. 18 févr. 2021 23:03

Oui, mais je ne comprend pas t'as réponse à la question 2.
As-tu sauté des étapes ?
sos-math(21)
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Re: Couples d'entiers naturels

Message par sos-math(21) » ven. 19 févr. 2021 08:41

Bonjour,
pour la question 2, je reprends mon raisonnement en détaillant davantage (je ne pense pas avoir sauté d'étape dans mon premier message.
Considérons un entier \(d\) qui soit un diviseur commun à \(x\) et à \(y\).
Alors \(d\mid x\) et \(d\mid y\).
On a par conséquent que \(d\mid x^2\) et \(d\mid y^2\).
Donc on en déduit que \(d\mid x^2-5y^2\) : si un entier divise deux autres entiers, il divise toute "combinaison" de ces deux entiers. Si tu n'es pas convaincu par mon affirmation, tu peux faire la démonstration en disant qu'il existe \(k\) tel que \(x=kd \) et \(k'\) tel que \(y=k'd\) puis passer à \(x^2\) et \(y^2\) et enfin à \(x^2-5y^2\).
On a donc dit que \(d\mid x^2-5y^2\). Or cette dernière expression est égale à 1 d'après l'équation donc on obtient finalement que \(d\mid 1\) donc que \(d=1\). Ainsi le seul diviseur commun à \(x\) et \(y\) est égal à 1 donc leur PGCD est égal à 1 et les nombres sont premiers entre eux.
Est-ce plus clair ?
Invité

Re: Couples d'entiers naturels

Message par Invité » ven. 19 févr. 2021 10:00

Oui, merci je pense avoir compris.
sos-math(21)
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Re: Couples d'entiers naturels

Message par sos-math(21) » ven. 19 févr. 2021 10:01

Très bien,
Je verrouille donc le sujet.
À bientôt sur sos-math
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