Récurrence

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Lala

Récurrence

Message par Lala » jeu. 11 févr. 2021 17:20

Bonsoir,

Je n’arrive pas à résoudre une question dans un exercice type bac. C’est la question 2.b) de la deuxième partie de l’exercice 4 (pour les candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité).

https://www.apmep.fr/IMG/pdf/S_Metropol ... 019_DV.pdf

J’ai réussi l’initialisation, mais je suis bloquée à l’hérédité.

Pourriez-vous m’aider s’il vous plaît ?

Merci !
sos-math(21)
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Re: Récurrence

Message par sos-math(21) » jeu. 11 févr. 2021 17:41

Bonjour,
à la question précédente, on te demande de montrer que \(1-v_{n+1}= \left(\dfrac{2}{4+v_n}\right)(1-v_n)\).
Comme ta fonction \(f\) est à valeurs strictement positives, ta suite \(v_n\) est strictement positive (en toute rigueur, il faudrait le prouver par récurrence).
Ainsi \(\dfrac{2}{4+v_n}\leqslant \dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}\) et on a \(1-v_{n+1}\leqslant \dfrac{1}{2}(1-v_n)\).
Donc quand tu fais ta démonstration par récurrence, l'initialisation ne pose pas de problème.
Pour l'hérédité : on se place à un rang \(n\) quelconque et on suppose que la propriété \(\mathcal{P}_n\,:\,0\leqslant 1-v_n\leqslant \left(\dfrac{1}{2}\right)^n\)
Ensuite, on reprend l'égalité vue à la question précédente : la relation \(1-v_{n+1}=\left(\dfrac{2}{4+v_n}\right)(1-v_n)\) assure que \(1-v_{n+1}\geqslant 0\) (première partie de l'encadrement) et l'inégalité que l'on a obtenue permet d'avoir la deuxième partie de l'encadrement :
\(0\leqslant 1-v_{n+1}\leqslant \dfrac{1}{2}\underbrace{(1-v_n)}_{\leqslant \left(\dfrac{1}{2}\right)^n \text{hyp. recur.}}\)
Finalement, on a :
\(0\leqslant 1-v_{n+1}\leqslant \dfrac{1}{2}\times\left(\dfrac{1}{2}\right)^n\) soit \(0\leqslant 1-v_{n+1}\leqslant \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}\)
ce qui prouve bien \(\mathcal{P}_{n+1}\) et assure l'hérédité.
Il reste ensuite à conclure : par récurrence, on a bien \(\mathcal{P}_n\) vraie pour tout entier naturel \(n\).
Est-ce plus clair ?
Lala

Re: Récurrence

Message par Lala » jeu. 11 févr. 2021 18:45

Merci beaucoup pour votre aide !

Cependant, je n’arrive pas à comprendre comment nous obtenons la deuxième partie de l’encadrement.
sos-math(21)
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Re: Récurrence

Message par sos-math(21) » jeu. 11 févr. 2021 18:52

Bonjour,
Si tu relis bien mon message, tu verras que j’ai essayé d’expliquer en quoi la première question t’aidait dans la récurrence.
Reprends mes explications (début du message) à tête reposée et si tu ne comprends toujours pas, renvoie un message en précisant où tu bloques.
Bonne continuation
Lala

Re: Récurrence

Message par Lala » jeu. 11 févr. 2021 19:12

Je comprends votre raisonnement. Cependant, à un moment, vous indiquez que 1-Vn<(1/2)^n (parce que nous l’avons supposé), mais vous concluez que 1/2(1-Vn) = 1/2 * (1/2)^n. Je ne comprends juste pas pourquoi nous multiplions par (1/2)^n, alors que nous avons juste dit que 1-Vn<(1/2)^n.

Je ne sais pas si mon explication est claire, je m’en excuse.
Invité

Re: Récurrence

Message par Invité » jeu. 11 févr. 2021 20:00

Lala a écrit :
jeu. 11 févr. 2021 18:45
Merci beaucoup pour votre aide !

Cependant, je n’arrive pas à comprendre comment nous obtenons la deuxième partie de l’encadrement.
Bonjour
Par hypothèse : 0<= 1-vn <= (1/2)^n au rang n>=0
Au rang n+1: 1-v(n+1) = [ 2/(4+v(n)] (1-v(n) )
Comme 0<=1-v(n)<= (1/2)^n alors
0<= 1-v(n+1) <= [2/(4+v(n) ](1/2)^n

Or v(n) >=0 d'après définition de vn,donc 2/(4+v(n) <=2/4=1/2 pour tout n dans N et par suite :
[2/(4+v(n)](1/2)^n <= 1/2 (1/2)^n soit (1/2)^(n+1)
sos-math(21)
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Re: Récurrence

Message par sos-math(21) » ven. 12 févr. 2021 09:26

Bonjour,
je viens de valider le message d'Invité qui reprend le mécanisme de la récurrence.
En espérant que cela t'aide.
Bonne continuation
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