Matrices

Retrouver tous les sujets résolus.
Répondre
Aliyah

Matrices

Message par Aliyah » ven. 5 févr. 2021 14:10

Bonjour , j’ai besoin d’aide pour cette question :
Montrer qu’une matrice carrée M d’ordre 3 à termes positifs est stochastique (somme des termes de chaque ligne vaut 1) si est seulement si MX=X

Pour M je sais qu’on a une matrice : ( a b c )
( d e f )
( g h i )
Mais je n’arrive pas a trouver X
sos-math(21)
Messages : 8790
Enregistré le : lun. 30 août 2010 11:15

Re: Matrices

Message par sos-math(21) » ven. 5 févr. 2021 14:15

Bonjour,
si on considère une matrice carrée d'ordre 3 : \(M=\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix}\).
alors pour tout vecteur \(X\) de la forme, \(X=\begin{pmatrix}x\\x\\x\end{pmatrix}\),
on a \(MX=\begin{pmatrix}ax+bx+cx\\dx+ex+fx\\gx+hx+ix\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}(a+b+c)x\\(d+e+f)x\\(g+h+i)x\end{pmatrix}\)
donc je dirai qu'il y a équivalence entre :
\(M\) est stochastique \(\Longleftrightarrow\) pour tout vecteur \(X=\begin{pmatrix}x\\x\\x\end{pmatrix}\), \(MX=X\).
Qu'en penses-tu ?
Invité

Re: Matrices

Message par Invité » sam. 6 févr. 2021 12:17

Je pense que c’est correct mais j’ai une question , à la fin on ne retombe pas sur X donc MX est différent de X non ?
sos-math(21)
Messages : 8790
Enregistré le : lun. 30 août 2010 11:15

Re: Matrices

Message par sos-math(21) » sam. 6 févr. 2021 13:28

Bonjour,
dans le cas général on a effectivement \(MX\neq X\) mais dans l'hypothèse où on a une matrice \(M\) stochastique, la somme des coefficients de chaque ligne est égale à 1 donc \(a+b+c=d+e+f=g+h+i=1\) ce qui donne bien \(MX=X\).
On a donc \(MX=X\) si et seulement si \(M\) est stochastique : c'est ce qu'on appelle une condition nécessaire et suffisante.
Est-ce plus clair ?
Aliyah

Re: Matrices

Message par Aliyah » sam. 6 févr. 2021 13:29

Oui c’est plus clair merci
sos-math(21)
Messages : 8790
Enregistré le : lun. 30 août 2010 11:15

Re: Matrices

Message par sos-math(21) » sam. 6 févr. 2021 13:30

Bonne continuation et à bientôt sur sos-math
Répondre