géométrie dans l'espace

[Théo]

Bonjour,
j'ai un contrôle de maths lundi prochain et notre professeur nous a donné un petit vrai ou faux à faire pour nous y préparer (il nous a dit que ce genre de questions nous serons posées (pas sous la forme d'un vrai ou faux toutefois) et que c'est un bon entrainement).
Dans cet exercice il y a 4 affirmations indépendantes les unes des autres à justifier ; toutefois une me résiste et à vrai dire je ne sais pas du tout comment m'y prendre pour l'aborder; il ne me semble pas avoir vu cela en cours. Je n'ai aucune idée de la méthode à appliquer pour démonter que cette affirmation est vraie ou fausse...
Pouvez vous m'aider, m'expliquer la façon dont je peux m'en sortir ?

Voilà la question :
On considère un cube ABCDEFGH, l'espace muni d'un repère orthonormé (A, AB, AD, AE). Une représentation paramétrique de la droite (AG) est x=t y=t z=t t∈|R.
On considère un point M sur la droite (AG).
Affirmation (justifier) : Il y a exactement deux positions du point M sur la droite (AG) telles que les droites (MB) et (MD) soient orthogonales.

Merci beaucoup !
(je peux éventuellement vous montrer les 3 autres questions ainsi que mes réponses si vous le souhaitez)

[SoS-Math(33)]

Bonsoir,
as tu essayé d'utiliser des vecteurs et le produit scalaire?
SoS-math

[Théo]

Oui mais disons qu'il y a de nombreuses façons de les utiliser et ici, je ne sais pas comment m'en servir...
Il faut utiliser le produit scalaire pour montrer que (MB) et (MD) sont orthogonales (MB→.MD→=0), mais à part cela je ne sais pas trop quoi faire...

[SoS-Math(33)]

Oui c'est ça,
il faut passer par le produit scalaire de \(\overrightarrow{MB}\) et \( \overrightarrow{MD}\) et en prenant en compte que M est un point de la droite.

[Théo]

Le problème c'est que la représentation paramétrique d'(AG) est x=t y=t et z=t (logique au vu de son vecteur directeur AG(1 1 1) ).
En fait je ne sais vraiment pas comment m'y prendre...

[SoS-Math(33)]

Tu as :
\(\overrightarrow{MB} = (1-x ; -y ; -z)\) et \( \overrightarrow{MD} = (-x ; 1-y ; -z)\)
tu calcules le produit scalaire, sachant que comme M est un point de (AG) tu as x=y=z, ce qui va te donner une équation à une inconnue à résoudre.
Je te laisse calculer le produit scalaire et l'égaler à 0.

[Théo]

Donc si je calcule le produit scalaire j'ai :
MB−→−=(1−x;−y;−z) et MD−→−=(;1−y;−z)
−x*(1−x)+(1-y)*(-y)-z*(-z)=0
=x²-x+y²-y+z²=0
x=y=z
soit 3x²-2x=0 → x(3x-2)=0
x=0 ou x=-b/a=2/3
Donc M(0;0;0) ou M(2/3;2/3;2/3) ?

[SoS-Math(33)]

Ce que tu as fait me semble tout à fait correct.
SoS-math

[Théo]

Merci beaucoup ! :)
Je n'avais pas fait le lien avec la droite (AG) et n'avait du même coup pas pensé que x=y=z !

[SoS-Math(33)]

Bonne continuation
A bientôt sur le forum
SoS-math