Equations différentielles

[Invité]

Bonjour,
J'ai voilà quelques difficultés sur des exercices de maths et j'aurais besoin d'explications.

Exo 1:

La température de refroidissement d'un objet, fabriqué industriellement, est modélisée par une fonction f, où pour tout réel \(t\geq 0\), \(f(t)\) représente la température de l'objet, exprimée en degré Celsius, à l'instant t, exprimé en heure. La fonction f est solution de l'équation différentielle \((E): y'+\frac{1}{2}y=10\)

1. Résoudre l'équation différentielle (E)
Qui est:

\(y'=\frac{-1}{2}y+10\)
de la forme y'=ay+b, soit \(f(t)=ke^{at}+\alpha\)
où k est une constante réelle.

D'où : \(f(t)=ke^{\frac{-1}{2}t}+20\)

2/La température initiale de l'objet est 220°C. Déterminer, pour tout réel \(t\geq 0\), l'expression de f(t) en fonction de t.

Je n'ai pas compris cette question, car, n'est-ce pas ce que j'ai écrit au-dessus? Je crois qu'il faut utiliser le 220°C mais je ne vois pas comment, mis à part remplacer le t de l'exponentielle par 220.

J'ai aussi un second exercice:
Exo 2

Après de violents orages, des eaux de ruissellement contenant 4% de pesticides se déversent dans un bassin aménagé pour la baignade. Le système d'évacuation du bassin permet d'y maintenir un volume constant de 30 000 litres.
On admet que le volume de pesticide, en litre, dans ce bassin est modélisé par un fonction V définir sur \([0;+infini\) par \(V(t)=f(t)+1200\) où t est le temps, exprimé en min, et f une fonction solution de l'équation différentielle \((E): y'+0,005y=0\)

1/Résoudre l'équa. diff. (E)

\(y'=-0,005y\)

De la forme y=ay, soit \(f(t)=ke^{at}\)

D'où \(f(t)=ke^{-0,005t}\)

2/On suppose qu'à l'instant t=0 le volume de pesticide dans l'eau est nul.
En déduire que pour tout réel, \(t\geq 0\): \(V(t)=1200(1-e^{-0,005t})\)

Je suis donc bloquée ici également.

Merci d'avance pour vos réponses, bonne journée.

[sos-math(21)]

Bonjour,
la connaissance des conditions initiales d'une équation différentielle permet de préciser les solutions.
Si ta fonction est de la forme \(f(t)=k\text{e}^{-\dfrac{1}{2}t}+20\), alors on a f(0)=220 donc tu devrais retrouver \(k\) et définir complètement ta fonction \(f\).
Pour la deuxième fonction c'est un peu la même chose, tu as \(V(t)=f(t)+1200\) et comme on te dit qu'à l'instant \(t=0\), le volume de pesticides est nul, on a \(V(0)=0\) donc \(f(0)+1200=V(0)=0\) et \(f(0)=-1200=k\) tu as donc ta fonction \(f\) qui est totalement définie et l'expression de \(v\) s'en déduit \(V(t)=f(t)+1200=-1200\text{e}^{-0,005t}+1200=1200(1-\text{e}^{-0,005t})\).
Bonne continuation

[Invité]

Merci beaucoup

[sos-math(21)]

Bonne continuation et à bientôt sur sos-math

[Invité]

Bonjour,
J'ai encore une question.
On me demande maintenant pour la fonction f(t) de l'exercice 1, de construire son tableau de variation sur [0; +infini [
Si je ne me trompe pas, je n'ai pas besoin de dériver la fonction f?
Merci d'avance pour votre réponse.

[sos-math(21)]

Bonjour,
Tu peux en effet te servir de l’équation différentielle pour connaître le signe de la dérivée et en déduire les variations de la fonction.
Bonne continuation

[Loulou]

Bonjour,
J'ai aussi un soucis sur cet exercice mais en ce qui concerne la question :
3. a. Étudier le sens de variation de la fonction f sur l'intervalle [0; +∞0 [.
b. Déterminer la limite de la fonction f en +∞⁰.
c. Interpréter les résultats précédents dans le contexte de l'exercice.
J'ai fais un petit brouillon qui ne me mène à rien....

[sos-math(21)]

Bonjour,
de quel exercice parles-tu ?
Plusieurs exercices sont évoqués dans ce fil de discussion.
Merci de préciser,
À bientôt