Égalité 0.999... et 1

[Remi]

Bonjour,
J'aimerais savoir si l'égalité 0,999.... =1.est vraie.
Merci pour votre réponse.

[sos-math(21)]

Bonjour,
aussi surprenant que cela puisse paraître, cette égalité est vraie.
Tu peux t'en convaincre avec la page de ce très bon site : https://www.math93.com/index.php/112-ac ... 09-0-999-1
Bonne consultation

[Remi]

Bonjour,
aussi surprenant que cela puisse paraître, cette égalité est vraie.
Tu peux t'en convaincre avec la page de ce très bon site : https://www.math93.com/index.php/112-ac ... 09-0-999-1
Bonne consultation

Merci pour votre réponse.
Mais on peut écrire 0,999.... =1-1/10^n où n représente le nombre de 9.
Donc pour arriver à 1 il faut passer par la limite !

[sos-math(21)]

Oui, c'est cela,
en fait l'égalité est vraie lorsque les points de suspension signifient que l'on a des 9 à l'infini.
Donc dès que l'on met un nombre \(n\) de 9 après la virgule, il faut faire tendre \(n\) vers \(+\infty\) pour que l'égalité soit vraie et c'est cela qui est un peu trompeur.
C'est ce qu'on appelle le développement décimal illimité impropre du nombre.
Tout nombre décimal non nul admet deux développement décimaux : un développement décimal illimité propre (celui qui semble naturel comme 1 pour le 1, c'est celui qui finit par se terminer par des 0 en partie décimale) et un développement décimal illimité impropre (celui qui a des 9 à la place des 0 avec une unité de moins sur sa dernière décimale non nulle comme 0,99999... pour 1, ou 0,399999999999... pour 0,4).
Il y a bien dans ce cas un passage à la limite qui établit la convergence vers le décimal en question.
En espérant avoir répondu à ta question.

[Remi]

Oui, c'est cela,
en fait l'égalité est vraie lorsque les points de suspension signifient que l'on a des 9 à l'infini.
Donc dès que l'on met un nombre \(n\) de 9 après la virgule, il faut faire tendre \(n\) vers \(+\infty\) pour que l'égalité soit vraie et c'est cela qui est un peu trompeur.
C'est ce qu'on appelle le développement décimal illimité impropre du nombre.
Tout nombre décimal non nul admet deux développement décimaux : un développement décimal illimité propre (celui qui semble naturel comme 1 pour le 1, c'est celui qui finit par se terminer par des 0 en partie décimale) et un développement décimal illimité impropre (celui qui a des 9 à la place des 0 avec une unité de moins sur sa dernière décimale non nulle comme 0,99999... pour 1, ou 0,399999999999... pour 0,4).
Il y a bien dans ce cas un passage à la limite qui établit la convergence vers le décimal en question.
En espérant avoir répondu à ta question.

Avec votre explication , si claire, je suis totalement convaincu.
Je vous remercie infiniment.

[sos-math(21)]

Bonjour,
tant mieux si cela t'a permis de voir pourquoi c'est vrai : de nombreuses personnes pensent que c'est une supercherie alors que, mathématiquement, c'est vrai.
À bientôt sur sos-math