Bonjour!
J'ai ce DM pour lundi: https://www.cjoint.com/data3/KAiwssluAi ... 231503.jpg
J'ai du mal avec les questions 1b,c et 2d et e.
Pouvez vous m'éclairer? Merci!
DM sur les Polynômes
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Clemence
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sos-math(21)
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- Enregistré le : lun. 30 août 2010 11:15
Re: DM sur les Polynômes
Bonjour,
ce devoir relève-t-il de l'enseignement secondaire ? Cela me semble plutôt d'un niveau post-bac...
Pour le début de ton devoir, tu as montré qu'il y avait \(n-1\) racines à l'équation \((z+1)^n=z^n\) qui peut s'écrire \((z+1)^n-z^n=0\).
\(P_n(X)=(X+1)^n-X^n\) donc les racines de l'équation sont les racines du polynôme \(P_n\) qui peut donc s'écrire sous la forme factorisée indiquée : le facteur \(n\) devant le produit étant obtenue à l'aide des questions précédentes sur le coefficient dominant.
Pour la question 2, quand tu écris la formule du produit \(A_{2n}\), tu peux associer les facteurs d'indice \(k\) et \(2n-k\) :
\(\sin\left(\dfrac{(2n-k)\pi}{2n}\right)=\sin\left(\pi-\dfrac{k\pi}{2n}\right)=\sin\left(\dfrac{k\pi}{2n}\right)\) d'après a formule de trigonométrie \(\sin(\pi-x)=\sin(x)\). Donc en les regroupant 2 par 2 (sachant que le facteur du milieu, qui est tout seul \(k=n\) donne un sinus égal à 1 donc on peut "l'enlever"), on a \(\left(\sin\left(\dfrac{k\pi}{2n}\right)\right)^2\) pour les entiers \(k\) allant de \(1\) à \(n-1\).
Pour la suite, il faut exploiter ce que l'on vient d'obtenir, avec \(A_{2n}=\dfrac{2n}{2^{2n-1}}\) on a \(\displaystyle\prod_{k=1}^{n-1}\sin\left(\dfrac{k\pi}{2n}\right)=\sqrt{A_{2n}}=\sqrt{\dfrac{2n}{2^{2n-1}}}=....\)
Bonne continuation
ce devoir relève-t-il de l'enseignement secondaire ? Cela me semble plutôt d'un niveau post-bac...
Pour le début de ton devoir, tu as montré qu'il y avait \(n-1\) racines à l'équation \((z+1)^n=z^n\) qui peut s'écrire \((z+1)^n-z^n=0\).
\(P_n(X)=(X+1)^n-X^n\) donc les racines de l'équation sont les racines du polynôme \(P_n\) qui peut donc s'écrire sous la forme factorisée indiquée : le facteur \(n\) devant le produit étant obtenue à l'aide des questions précédentes sur le coefficient dominant.
Pour la question 2, quand tu écris la formule du produit \(A_{2n}\), tu peux associer les facteurs d'indice \(k\) et \(2n-k\) :
\(\sin\left(\dfrac{(2n-k)\pi}{2n}\right)=\sin\left(\pi-\dfrac{k\pi}{2n}\right)=\sin\left(\dfrac{k\pi}{2n}\right)\) d'après a formule de trigonométrie \(\sin(\pi-x)=\sin(x)\). Donc en les regroupant 2 par 2 (sachant que le facteur du milieu, qui est tout seul \(k=n\) donne un sinus égal à 1 donc on peut "l'enlever"), on a \(\left(\sin\left(\dfrac{k\pi}{2n}\right)\right)^2\) pour les entiers \(k\) allant de \(1\) à \(n-1\).
Pour la suite, il faut exploiter ce que l'on vient d'obtenir, avec \(A_{2n}=\dfrac{2n}{2^{2n-1}}\) on a \(\displaystyle\prod_{k=1}^{n-1}\sin\left(\dfrac{k\pi}{2n}\right)=\sqrt{A_{2n}}=\sqrt{\dfrac{2n}{2^{2n-1}}}=....\)
Bonne continuation