Bonjour
Mon professeur nous a initiés à l'intégration par parties juste avant les vacances et nous a suggérés de faire le calcul suivant pour s'entraîner car il y a deux intégrations par parties à effectuer.
Voici le calcul : 1/pi fois intégrale entre (-pi) et (pi) de t^2 cos (nwt) dt.
Pourriez-vous me montrer la marche à suivre svp ?
Car quand je fais les deux intégrations par parties moi j'obtiens 0=0, ce qui n'est pas très utile pour répondre à la question...
Merci de l'aide !
Intégration par parties
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Élise
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SoS-Math(33)
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Re: Intégration par parties
Bonsoir Elise,
\(\int uv' = uv -\int u'v\)
\(\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}t^2cos(nwt)dt\)
il faut prendre \(u = t^2\) et \(v' = cos(nwt)\)
tu obtiens ainsi \(u' = 2t\) et \(v = \frac{1}{nw}sin(nwt)\)
ce qui donne \(\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}t^2cos(nwt)dt = [\frac{1}{\pi}\frac{t^2}{nw}sin(nwt)]_{-\pi}^{\pi} - \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\frac{2t}{nw}sin(nwt)dt\)
Pour la deuxième intégration par partie tu fais le même principe.
Est ce un peu plus clair?
SoS-math
\(\int uv' = uv -\int u'v\)
\(\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}t^2cos(nwt)dt\)
il faut prendre \(u = t^2\) et \(v' = cos(nwt)\)
tu obtiens ainsi \(u' = 2t\) et \(v = \frac{1}{nw}sin(nwt)\)
ce qui donne \(\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}t^2cos(nwt)dt = [\frac{1}{\pi}\frac{t^2}{nw}sin(nwt)]_{-\pi}^{\pi} - \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\frac{2t}{nw}sin(nwt)dt\)
Pour la deuxième intégration par partie tu fais le même principe.
Est ce un peu plus clair?
SoS-math
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Invité
Re: Intégration par parties
merci
c'est pourtant ce que j'ai fait...
et à la fin je trouve plutôt, en notant I l'intégrale recherchée : 1/pi * I = 1/pi * I
Donc je ne peux rien déduire de ça, alors que faire ? !
c'est pourtant ce que j'ai fait...
et à la fin je trouve plutôt, en notant I l'intégrale recherchée : 1/pi * I = 1/pi * I
Donc je ne peux rien déduire de ça, alors que faire ? !
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SoS-Math(33)
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Re: Intégration par parties
Pour la deuxième tu prends bien
\(u= \frac{2t}{nw}\) et \(v' = sin(nwt)\)
ce qui te donne
\(u' = \frac{2}{nw} \) et \(v = \frac{-1}{nw}cos(nwt)\)
\(u= \frac{2t}{nw}\) et \(v' = sin(nwt)\)
ce qui te donne
\(u' = \frac{2}{nw} \) et \(v = \frac{-1}{nw}cos(nwt)\)
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Invité
Re: Intégration par parties
oui c'est exactement ce que j'ai fait, mais je n'arrive toujours pas à trouver l'intégrale que j'ai nommée I, pourquoi ?
Y a-t-il une astuce quelque part ?
Y a-t-il une astuce quelque part ?
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SoS-Math(33)
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Re: Intégration par parties
\( [\frac{1}{\pi}\frac{t^2}{nw}sin(nwt)]_{-\pi}^{\pi}\) est égal à quoi pour toi?
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Invité
Re: Intégration par parties
Pour moi :
\( [\frac{1}{\pi}\frac{t^2}{nw}sin(nwt)]_{-\pi}^{\pi}=\frac{1}{\pi}\frac{\pi^2}{nw}sin(nw\pi)-\frac{1}{\pi}\frac{(-\pi)^2}{nw}sin(nw(-\pi))=\frac{1}{\pi}\frac{\pi^2}{nw}sin(nw\pi)+\frac{1}{\pi}\frac{\pi^2}{nw}sin(nw\pi)=\frac{2}{\pi}\frac{\pi^2}{nw}sin(nw\pi)\)
C'est bien correct ?
Je ne vois pas où pourrait être mon erreur... Quel résultat obtenez-vous et comment l'obtenez-vous de votre côté ?
\( [\frac{1}{\pi}\frac{t^2}{nw}sin(nwt)]_{-\pi}^{\pi}=\frac{1}{\pi}\frac{\pi^2}{nw}sin(nw\pi)-\frac{1}{\pi}\frac{(-\pi)^2}{nw}sin(nw(-\pi))=\frac{1}{\pi}\frac{\pi^2}{nw}sin(nw\pi)+\frac{1}{\pi}\frac{\pi^2}{nw}sin(nw\pi)=\frac{2}{\pi}\frac{\pi^2}{nw}sin(nw\pi)\)
C'est bien correct ?
Je ne vois pas où pourrait être mon erreur... Quel résultat obtenez-vous et comment l'obtenez-vous de votre côté ?
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SoS-Math(33)
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Re: Intégration par parties
Oui c'est correct, tu peux simplifier par \( \pi\) et tu obtiens : \(\frac{2\pi}{nw}sin(nw\pi)\)
On pose : \(I = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}t^2cos(nwt)dt\)
on obtient :
\(I = \frac{2\pi}{nw}sin(nw\pi) - \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\frac{2t}{nw}sin(nwt)dt\)
On pose \(J = \int_{-\pi}^{\pi}\frac{2t}{nw}sin(nwt)dt\)
\(J = [\frac{-2t}{(nw)^2}cos(nwt)]_{-\pi}^{\pi} - \int_{-\pi}^{\pi}\frac{-2}{(nw)^2}cos(nwt)dt\)
Ainsi on obtient : \(I = \frac{2\pi}{nw}sin(nw\pi) - \frac{1}{\pi}J\)
\(I = \frac{2\pi}{nw}sin(nw\pi) - \frac{1}{\pi}[\frac{-2t}{(nw)^2}cos(nwt)]_{-\pi}^{\pi} + \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\frac{-2}{(nw)^2}cos(nwt)dt\)
On pose : \(I = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}t^2cos(nwt)dt\)
on obtient :
\(I = \frac{2\pi}{nw}sin(nw\pi) - \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\frac{2t}{nw}sin(nwt)dt\)
On pose \(J = \int_{-\pi}^{\pi}\frac{2t}{nw}sin(nwt)dt\)
\(J = [\frac{-2t}{(nw)^2}cos(nwt)]_{-\pi}^{\pi} - \int_{-\pi}^{\pi}\frac{-2}{(nw)^2}cos(nwt)dt\)
Ainsi on obtient : \(I = \frac{2\pi}{nw}sin(nw\pi) - \frac{1}{\pi}J\)
\(I = \frac{2\pi}{nw}sin(nw\pi) - \frac{1}{\pi}[\frac{-2t}{(nw)^2}cos(nwt)]_{-\pi}^{\pi} + \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\frac{-2}{(nw)^2}cos(nwt)dt\)