Etude de fonctions

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Maëlle

Etude de fonctions

Message par Maëlle » lun. 28 déc. 2020 10:36

Bonjour ! J'ai un exercice très difficile à rendre pour la rentrée, je bloque dessus depuis pas mal de temps maintenant... Pourriez-vous m'aider svp ?
Voici l'énoncé:

Soit f la fonction définie par f(x) = \(\frac{x^{3}}{x^{2}-1}\)
Soit Cf la courbe représentative de f dans un repère orthonormé (O, \(\vec{i}\), \(\vec{j}\) d’unité 2 cm.

1. Déterminer l'ensemble de définition Df de f.
2. Démontrer que pour tout x∈Df, f(−x) = −f(x). Quelle conséquence peut on en déduire pour la représentation graphique Cf ?

3. Déterminer \(\lim_{x\rightarrow 1^+} f(x)\) et \(\lim_{x\rightarrow 1^-} f(x)\). Interpréter géométriquement.
4. Déterminer \(\lim_{x\rightarrow +\infty } f(x)\). En utilisant la question 2, comment peut-on en déduire \(\lim_{x\rightarrow -\infty } f(x)\) ?
5. Montrer qu’il existe, et déterminer, deux réels a et b tels que pour tout x ∈ Df, \(f(x)=ax + \frac{bx}{x^2-1}\)
6. On note ∆ la droite d’équation y = ax. Déterminer \(\lim_{x\rightarrow -\infty } f(x)-ax\). Comment peut on interpréter géométriquement
ce résultat pour la droite ∆ et la courbe Cf ?
7. Étudier la position relative de Cf et de la droite ∆.

8. Pour tout x ∈ Df, calculer f'(x).
9. . Dresser le tableau de signes de f'(x) ainsi que le tableau de variations de f pour x ∈ Df.
10. Montrer que l’équation f (x) = 1 admet une unique solution α sur Df. Et déterminer une valeur approchée de α à 0,01 près.

11. Démontrer qu’il n’existe pas de tangente à Cf parallèle à ∆.

On n'a rien vu sur ça en cours pour l'instant, du coup je bloque dès la première question :(
Merci d'avance !
sos-math(21)
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Re: Etude de fonctions

Message par sos-math(21) » lun. 28 déc. 2020 11:18

Bonjour
Le domaine de définition d’une fonction est l’ensemble des valeurs de \(x\) pour lesquelles \(f(x)\) est calculable : ici il s’agit de déterminer les valeurs qui annulent le dénominateur \(x^2-1=0\). Le domaine de définition de ta fonction sera constitué de tous les réels privés de ces valeurs interdites.
Pour la deuxième question, il s’agit de remplacer \(x\) par \(-x\) et de vérifier que \(f(-x)=-f(x)\), ce qui prouvera que la fonction est impaire : graphiquement cela signifie que la courbe admet l’origine du repère comme centre de symétrie.
Bonne continuation
Maëlle

Re: Etude de fonctions

Message par Maëlle » lun. 28 déc. 2020 11:35

Merci beaucoup !

Du coup pour la 1. :
x^2-1=0
x^2=1
x= 1 ou -1

--> Donc Df= R_\(\left \{ -1;1 \right \}\)

2. f(-x)= -x^3/-x^2-1
= -x^3/x^2-1
= -f(x)

Ca suffit si je justifie comme ça ?
Maëlle

Re: Etude de fonctions

Message par Maëlle » lun. 28 déc. 2020 12:30

Pour la 3. je pense avoir trouvé :

\(\lim_{x\rightarrow 1^+} x^3=1\)
\(\lim_{x\rightarrow 1^+} x^2-1=0^+\(
J'ai fait un tableau de signe avec dans la ligne x moins l'infini, -1, 1 et plus l'infini, et une ligne signe de x^2-1 avec les signes plus aux extrémités et le signe moins à l'intérieur.
Du coup par quotient ça donne: \(\lim_{x\rightarrow 1^+} \frac{x^3}{x^2-1}\) = \(+\infty\)

\(\lim_{x\rightarrow 1^-} x^3= -1\)
\(\lim_{x\rightarrow 1^-} x^2-1= 0^-\(
Là encore j'ai regardé le tableau de signes.
Par quotient, ça donne: \(\lim_{x\rightarrow 1^-} \frac{x^3}{x^2-1}= +\infty\)

Par contre interpréter géométriquement je ne vois pas.\)\)\)\)
Maëlle

Re: Etude de fonctions

Message par Maëlle » lun. 28 déc. 2020 13:04

Pour la 3. j'ai une petite idée: il y a deux asymptotes verticales x= 1^+ et x=1^- ?
sos-math(21)
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Re: Etude de fonctions

Message par sos-math(21) » lun. 28 déc. 2020 19:33

Bonjour,
Pour la justification de la parité, c’est la bonne démarche sauf que dans ton calcul tu as oublié de mettre le \(-x\) entre parenthèses.
Pour les limites, il faut étudier la limite à gauche et à droite de chaque valeur interdite car elles interviennent dans le domaine de définition.
Je ne comprends pas une de tes limites en 1 pour \(x^3\) : elle ne peut pas être égale à -1.
Reprends cela
Maëlle

Re: Etude de fonctions

Message par Maëlle » lun. 28 déc. 2020 20:00

Merci pour votre réponse.

2. f(-x) = \(\frac{(-x^3)}{(-x^2)-1}\)
= \(\frac{-x^3}{x^2-1}\)
= \(-\frac{x^3}{x^2-1}\)
= -f(x)

C'est juste ? :)
Maëlle

Re: Etude de fonctions

Message par Maëlle » lun. 28 déc. 2020 20:12

3. Quand x tend vers le 1 positif j'ai fait :

\(\lim_{x\rightarrow 1^+} x^3 = 1\)
\(\lim_{x\rightarrow 1^+} x^2-1 = 0^+\)

--> Le zéro plus je l'ai trouvé grâce à mon tableau de signe : puisque x tend vers un 1 positif, je tombe sur le signe +.
Du coup, par quotient : \(\lim_{x\rightarrow 1^+} \frac{x^3}{x^2-1} = +\infty\)

Ah miince merci je viens de m'en rendre compte !
Du coup quand x tend vers le 1 négatif j'ai fait:

\(\lim_{x\rightarrow 1^-} x^3= 1\)
\(\lim_{x\rightarrow 1^-} x^2-1 = 0^-\)

--> Le zéro moins je l'ai trouvé grâce au tableau : puisque x tend vers un 1 négatif, je tombe sur le signe -.
Du coup, par quotient de limites: \(\lim_{x\rightarrow 1^-} \frac{x^3}{x^2-1}\) = \(-\infty\)
Maëlle

Re: Etude de fonctions

Message par Maëlle » mar. 29 déc. 2020 14:23

Rebonjour,

Pour la 4. j'ai enfin une piste :
\(\lim_{x\rightarrow +\infty } x^3 = +\infty\)
\(\lim_{x\rightarrow +\infty } x^2-1 = +\infty\)
On est sur une forme indéterminée de type \("\frac{\infty }{\infty }"\)

f(x)= \(\frac{x^3}{x^2-1}\)
= \(\frac{x^3}{x^2(1-\frac{1}{x^2})}\)
= \(\frac{x^2}{1-\frac{1}{x^2}}\)

\(\lim_{x\rightarrow +\infty } x^2 = +\infty\)
\(\lim_{x\rightarrow +\infty } 1-\frac{1}{x^2} = 1\)
Par quotient, \(\lim_{x\rightarrow +\infty } f(x) = +\infty\)
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Re: Etude de fonctions

Message par SoS-Math(33) » mar. 29 déc. 2020 14:38

Maëlle a écrit :
lun. 28 déc. 2020 20:00
Merci pour votre réponse.

2. f(-x) = \(\frac{(-x^3)}{(-x^2)-1}\)
= \(\frac{-x^3}{x^2-1}\)
= \(-\frac{x^3}{x^2-1}\)
= -f(x)

C'est juste ? :)
Bonjour Maëlle, il y a une erreur dans l'utilisation (le placement) des parenthèses
\(f(-x) = \frac{(-x)^3}{(-x)^2-1}\)
\(= \frac{-x^3}{x^2-1}\)
\(= -\frac{x^3}{x^2-1}\)
\(= -f(x)\)
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Re: Etude de fonctions

Message par SoS-Math(33) » mar. 29 déc. 2020 14:41

Maëlle a écrit :
lun. 28 déc. 2020 20:12
3. Quand x tend vers le 1 positif j'ai fait :

\(\lim_{x\rightarrow 1^+} x^3 = 1\)
\(\lim_{x\rightarrow 1^+} x^2-1 = 0^+\)

--> Le zéro plus je l'ai trouvé grâce à mon tableau de signe : puisque x tend vers un 1 positif, je tombe sur le signe +.
Du coup, par quotient : \(\lim_{x\rightarrow 1^+} \frac{x^3}{x^2-1} = +\infty\)

Ah miince merci je viens de m'en rendre compte !
Du coup quand x tend vers le 1 négatif j'ai fait:

\(\lim_{x\rightarrow 1^-} x^3= 1\)
\(\lim_{x\rightarrow 1^-} x^2-1 = 0^-\)

--> Le zéro moins je l'ai trouvé grâce au tableau : puisque x tend vers un 1 négatif, je tombe sur le signe -.
Du coup, par quotient de limites: \(\lim_{x\rightarrow 1^-} \frac{x^3}{x^2-1}\) = \(-\infty\)
Cela semble correct.
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Re: Etude de fonctions

Message par SoS-Math(33) » mar. 29 déc. 2020 14:48

Maëlle a écrit :
mar. 29 déc. 2020 14:23
Rebonjour,

Pour la 4. j'ai enfin une piste :
\(\lim_{x\rightarrow +\infty } x^3 = +\infty\)
\(\lim_{x\rightarrow +\infty } x^2-1 = +\infty\)
On est sur une forme indéterminée de type \("\frac{\infty }{\infty }"\)

f(x)= \(\large\frac{x^3}{x^2-1}\)
= \(\large\frac{x^3}{x^2(1-\frac{1}{x^2})}\)
= \(\large\frac{x^2}{1-\frac{1}{x^2}}\) il y a une erreur c'est \(\large\frac{x}{1-\frac{1}{x^2}}\)

\(\lim_{x\rightarrow +\infty } x^2 = +\infty\)
devient \(\lim_{x\rightarrow +\infty } x = +\infty\)
\(\lim_{x\rightarrow +\infty } 1-\frac{1}{x^2} = 1\)
Par quotient, \(\lim_{x\rightarrow +\infty } f(x) = +\infty\)
Il te faut maintenant en déduire \(\lim_{x\rightarrow -\infty } f(x)\) à l'aide du résultat de la question 2 sur la parité.
SoS-math
Maëlle

Re: Etude de fonctions

Message par Maëlle » mar. 29 déc. 2020 15:09

Merci pour votre réponse !

J'avais oublié: Pour la 3., j'interprète géométriquement en disant qu'il y a deux asymptotes verticales x=1^+ et x=1^- ? Ou tout simplement x=1 ?
Pour la 4. je ne vois pas trop... C'est une fonction impaire, du coup \(\lim_{x\rightarrow -\infty } f(x)= -\infty\) ?
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Re: Etude de fonctions

Message par SoS-Math(33) » mar. 29 déc. 2020 15:27

Pour la 3) il y a une asymptote verticale x=1
Pour la 4) la fonction est impaire : graphiquement cela signifie que la courbe admet l’origine du repère comme centre de symétrie et du coup tu peux en déduire \(\lim_{x\rightarrow -\infty } f(x)= -\infty\)
Je te laisse poursuivre la suite
Maëlle

Re: Etude de fonctions

Message par Maëlle » mar. 29 déc. 2020 15:52

Pour la 5., il faut d'abord que je montre qu'il existe deux réels a et b. Je cherche depuis longtemps mais il n'y a rien qui me vient à l'esprit. Comment dois-je procéder ?
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