Etude de fonctions
Etude de fonctions
Bonjour ! J'ai un exercice très difficile à rendre pour la rentrée, je bloque dessus depuis pas mal de temps maintenant... Pourriez-vous m'aider svp ?
Voici l'énoncé:
Soit f la fonction définie par f(x) = \(\frac{x^{3}}{x^{2}-1}\)
Soit Cf la courbe représentative de f dans un repère orthonormé (O, \(\vec{i}\), \(\vec{j}\) d’unité 2 cm.
1. Déterminer l'ensemble de définition Df de f.
2. Démontrer que pour tout x∈Df, f(−x) = −f(x). Quelle conséquence peut on en déduire pour la représentation graphique Cf ?
3. Déterminer \(\lim_{x\rightarrow 1^+} f(x)\) et \(\lim_{x\rightarrow 1^-} f(x)\). Interpréter géométriquement.
4. Déterminer \(\lim_{x\rightarrow +\infty } f(x)\). En utilisant la question 2, comment peut-on en déduire \(\lim_{x\rightarrow -\infty } f(x)\) ?
5. Montrer qu’il existe, et déterminer, deux réels a et b tels que pour tout x ∈ Df, \(f(x)=ax + \frac{bx}{x^2-1}\)
6. On note ∆ la droite d’équation y = ax. Déterminer \(\lim_{x\rightarrow -\infty } f(x)-ax\). Comment peut on interpréter géométriquement
ce résultat pour la droite ∆ et la courbe Cf ?
7. Étudier la position relative de Cf et de la droite ∆.
8. Pour tout x ∈ Df, calculer f'(x).
9. . Dresser le tableau de signes de f'(x) ainsi que le tableau de variations de f pour x ∈ Df.
10. Montrer que l’équation f (x) = 1 admet une unique solution α sur Df. Et déterminer une valeur approchée de α à 0,01 près.
11. Démontrer qu’il n’existe pas de tangente à Cf parallèle à ∆.
On n'a rien vu sur ça en cours pour l'instant, du coup je bloque dès la première question :(
Merci d'avance !
Voici l'énoncé:
Soit f la fonction définie par f(x) = \(\frac{x^{3}}{x^{2}-1}\)
Soit Cf la courbe représentative de f dans un repère orthonormé (O, \(\vec{i}\), \(\vec{j}\) d’unité 2 cm.
1. Déterminer l'ensemble de définition Df de f.
2. Démontrer que pour tout x∈Df, f(−x) = −f(x). Quelle conséquence peut on en déduire pour la représentation graphique Cf ?
3. Déterminer \(\lim_{x\rightarrow 1^+} f(x)\) et \(\lim_{x\rightarrow 1^-} f(x)\). Interpréter géométriquement.
4. Déterminer \(\lim_{x\rightarrow +\infty } f(x)\). En utilisant la question 2, comment peut-on en déduire \(\lim_{x\rightarrow -\infty } f(x)\) ?
5. Montrer qu’il existe, et déterminer, deux réels a et b tels que pour tout x ∈ Df, \(f(x)=ax + \frac{bx}{x^2-1}\)
6. On note ∆ la droite d’équation y = ax. Déterminer \(\lim_{x\rightarrow -\infty } f(x)-ax\). Comment peut on interpréter géométriquement
ce résultat pour la droite ∆ et la courbe Cf ?
7. Étudier la position relative de Cf et de la droite ∆.
8. Pour tout x ∈ Df, calculer f'(x).
9. . Dresser le tableau de signes de f'(x) ainsi que le tableau de variations de f pour x ∈ Df.
10. Montrer que l’équation f (x) = 1 admet une unique solution α sur Df. Et déterminer une valeur approchée de α à 0,01 près.
11. Démontrer qu’il n’existe pas de tangente à Cf parallèle à ∆.
On n'a rien vu sur ça en cours pour l'instant, du coup je bloque dès la première question :(
Merci d'avance !
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Re: Etude de fonctions
Bonjour
Le domaine de définition d’une fonction est l’ensemble des valeurs de \(x\) pour lesquelles \(f(x)\) est calculable : ici il s’agit de déterminer les valeurs qui annulent le dénominateur \(x^2-1=0\). Le domaine de définition de ta fonction sera constitué de tous les réels privés de ces valeurs interdites.
Pour la deuxième question, il s’agit de remplacer \(x\) par \(-x\) et de vérifier que \(f(-x)=-f(x)\), ce qui prouvera que la fonction est impaire : graphiquement cela signifie que la courbe admet l’origine du repère comme centre de symétrie.
Bonne continuation
Le domaine de définition d’une fonction est l’ensemble des valeurs de \(x\) pour lesquelles \(f(x)\) est calculable : ici il s’agit de déterminer les valeurs qui annulent le dénominateur \(x^2-1=0\). Le domaine de définition de ta fonction sera constitué de tous les réels privés de ces valeurs interdites.
Pour la deuxième question, il s’agit de remplacer \(x\) par \(-x\) et de vérifier que \(f(-x)=-f(x)\), ce qui prouvera que la fonction est impaire : graphiquement cela signifie que la courbe admet l’origine du repère comme centre de symétrie.
Bonne continuation
Re: Etude de fonctions
Merci beaucoup !
Du coup pour la 1. :
x^2-1=0
x^2=1
x= 1 ou -1
--> Donc Df= R_\(\left \{ -1;1 \right \}\)
2. f(-x)= -x^3/-x^2-1
= -x^3/x^2-1
= -f(x)
Ca suffit si je justifie comme ça ?
Du coup pour la 1. :
x^2-1=0
x^2=1
x= 1 ou -1
--> Donc Df= R_\(\left \{ -1;1 \right \}\)
2. f(-x)= -x^3/-x^2-1
= -x^3/x^2-1
= -f(x)
Ca suffit si je justifie comme ça ?
Re: Etude de fonctions
Pour la 3. je pense avoir trouvé :
\(\lim_{x\rightarrow 1^+} x^3=1\)
\(\lim_{x\rightarrow 1^+} x^2-1=0^+\(
J'ai fait un tableau de signe avec dans la ligne x moins l'infini, -1, 1 et plus l'infini, et une ligne signe de x^2-1 avec les signes plus aux extrémités et le signe moins à l'intérieur.
Du coup par quotient ça donne: \(\lim_{x\rightarrow 1^+} \frac{x^3}{x^2-1}\) = \(+\infty\)
\(\lim_{x\rightarrow 1^-} x^3= -1\)
\(\lim_{x\rightarrow 1^-} x^2-1= 0^-\(
Là encore j'ai regardé le tableau de signes.
Par quotient, ça donne: \(\lim_{x\rightarrow 1^-} \frac{x^3}{x^2-1}= +\infty\)
Par contre interpréter géométriquement je ne vois pas.\)\)\)\)
\(\lim_{x\rightarrow 1^+} x^3=1\)
\(\lim_{x\rightarrow 1^+} x^2-1=0^+\(
J'ai fait un tableau de signe avec dans la ligne x moins l'infini, -1, 1 et plus l'infini, et une ligne signe de x^2-1 avec les signes plus aux extrémités et le signe moins à l'intérieur.
Du coup par quotient ça donne: \(\lim_{x\rightarrow 1^+} \frac{x^3}{x^2-1}\) = \(+\infty\)
\(\lim_{x\rightarrow 1^-} x^3= -1\)
\(\lim_{x\rightarrow 1^-} x^2-1= 0^-\(
Là encore j'ai regardé le tableau de signes.
Par quotient, ça donne: \(\lim_{x\rightarrow 1^-} \frac{x^3}{x^2-1}= +\infty\)
Par contre interpréter géométriquement je ne vois pas.\)\)\)\)
Re: Etude de fonctions
Pour la 3. j'ai une petite idée: il y a deux asymptotes verticales x= 1^+ et x=1^- ?
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Re: Etude de fonctions
Bonjour,
Pour la justification de la parité, c’est la bonne démarche sauf que dans ton calcul tu as oublié de mettre le \(-x\) entre parenthèses.
Pour les limites, il faut étudier la limite à gauche et à droite de chaque valeur interdite car elles interviennent dans le domaine de définition.
Je ne comprends pas une de tes limites en 1 pour \(x^3\) : elle ne peut pas être égale à -1.
Reprends cela
Pour la justification de la parité, c’est la bonne démarche sauf que dans ton calcul tu as oublié de mettre le \(-x\) entre parenthèses.
Pour les limites, il faut étudier la limite à gauche et à droite de chaque valeur interdite car elles interviennent dans le domaine de définition.
Je ne comprends pas une de tes limites en 1 pour \(x^3\) : elle ne peut pas être égale à -1.
Reprends cela
Re: Etude de fonctions
Merci pour votre réponse.
2. f(-x) = \(\frac{(-x^3)}{(-x^2)-1}\)
= \(\frac{-x^3}{x^2-1}\)
= \(-\frac{x^3}{x^2-1}\)
= -f(x)
C'est juste ? :)
2. f(-x) = \(\frac{(-x^3)}{(-x^2)-1}\)
= \(\frac{-x^3}{x^2-1}\)
= \(-\frac{x^3}{x^2-1}\)
= -f(x)
C'est juste ? :)
Re: Etude de fonctions
3. Quand x tend vers le 1 positif j'ai fait :
\(\lim_{x\rightarrow 1^+} x^3 = 1\)
\(\lim_{x\rightarrow 1^+} x^2-1 = 0^+\)
--> Le zéro plus je l'ai trouvé grâce à mon tableau de signe : puisque x tend vers un 1 positif, je tombe sur le signe +.
Du coup, par quotient : \(\lim_{x\rightarrow 1^+} \frac{x^3}{x^2-1} = +\infty\)
Ah miince merci je viens de m'en rendre compte !
Du coup quand x tend vers le 1 négatif j'ai fait:
\(\lim_{x\rightarrow 1^-} x^3= 1\)
\(\lim_{x\rightarrow 1^-} x^2-1 = 0^-\)
--> Le zéro moins je l'ai trouvé grâce au tableau : puisque x tend vers un 1 négatif, je tombe sur le signe -.
Du coup, par quotient de limites: \(\lim_{x\rightarrow 1^-} \frac{x^3}{x^2-1}\) = \(-\infty\)
\(\lim_{x\rightarrow 1^+} x^3 = 1\)
\(\lim_{x\rightarrow 1^+} x^2-1 = 0^+\)
--> Le zéro plus je l'ai trouvé grâce à mon tableau de signe : puisque x tend vers un 1 positif, je tombe sur le signe +.
Du coup, par quotient : \(\lim_{x\rightarrow 1^+} \frac{x^3}{x^2-1} = +\infty\)
Ah miince merci je viens de m'en rendre compte !
Du coup quand x tend vers le 1 négatif j'ai fait:
\(\lim_{x\rightarrow 1^-} x^3= 1\)
\(\lim_{x\rightarrow 1^-} x^2-1 = 0^-\)
--> Le zéro moins je l'ai trouvé grâce au tableau : puisque x tend vers un 1 négatif, je tombe sur le signe -.
Du coup, par quotient de limites: \(\lim_{x\rightarrow 1^-} \frac{x^3}{x^2-1}\) = \(-\infty\)
Re: Etude de fonctions
Rebonjour,
Pour la 4. j'ai enfin une piste :
\(\lim_{x\rightarrow +\infty } x^3 = +\infty\)
\(\lim_{x\rightarrow +\infty } x^2-1 = +\infty\)
On est sur une forme indéterminée de type \("\frac{\infty }{\infty }"\)
f(x)= \(\frac{x^3}{x^2-1}\)
= \(\frac{x^3}{x^2(1-\frac{1}{x^2})}\)
= \(\frac{x^2}{1-\frac{1}{x^2}}\)
\(\lim_{x\rightarrow +\infty } x^2 = +\infty\)
\(\lim_{x\rightarrow +\infty } 1-\frac{1}{x^2} = 1\)
Par quotient, \(\lim_{x\rightarrow +\infty } f(x) = +\infty\)
Pour la 4. j'ai enfin une piste :
\(\lim_{x\rightarrow +\infty } x^3 = +\infty\)
\(\lim_{x\rightarrow +\infty } x^2-1 = +\infty\)
On est sur une forme indéterminée de type \("\frac{\infty }{\infty }"\)
f(x)= \(\frac{x^3}{x^2-1}\)
= \(\frac{x^3}{x^2(1-\frac{1}{x^2})}\)
= \(\frac{x^2}{1-\frac{1}{x^2}}\)
\(\lim_{x\rightarrow +\infty } x^2 = +\infty\)
\(\lim_{x\rightarrow +\infty } 1-\frac{1}{x^2} = 1\)
Par quotient, \(\lim_{x\rightarrow +\infty } f(x) = +\infty\)
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Re: Etude de fonctions
Bonjour Maëlle, il y a une erreur dans l'utilisation (le placement) des parenthèses
\(f(-x) = \frac{(-x)^3}{(-x)^2-1}\)
\(= \frac{-x^3}{x^2-1}\)
\(= -\frac{x^3}{x^2-1}\)
\(= -f(x)\)
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Re: Etude de fonctions
Cela semble correct.Maëlle a écrit : ↑lun. 28 déc. 2020 20:123. Quand x tend vers le 1 positif j'ai fait :
\(\lim_{x\rightarrow 1^+} x^3 = 1\)
\(\lim_{x\rightarrow 1^+} x^2-1 = 0^+\)
--> Le zéro plus je l'ai trouvé grâce à mon tableau de signe : puisque x tend vers un 1 positif, je tombe sur le signe +.
Du coup, par quotient : \(\lim_{x\rightarrow 1^+} \frac{x^3}{x^2-1} = +\infty\)
Ah miince merci je viens de m'en rendre compte !
Du coup quand x tend vers le 1 négatif j'ai fait:
\(\lim_{x\rightarrow 1^-} x^3= 1\)
\(\lim_{x\rightarrow 1^-} x^2-1 = 0^-\)
--> Le zéro moins je l'ai trouvé grâce au tableau : puisque x tend vers un 1 négatif, je tombe sur le signe -.
Du coup, par quotient de limites: \(\lim_{x\rightarrow 1^-} \frac{x^3}{x^2-1}\) = \(-\infty\)
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Re: Etude de fonctions
Il te faut maintenant en déduire \(\lim_{x\rightarrow -\infty } f(x)\) à l'aide du résultat de la question 2 sur la parité.Maëlle a écrit : ↑mar. 29 déc. 2020 14:23Rebonjour,
Pour la 4. j'ai enfin une piste :
\(\lim_{x\rightarrow +\infty } x^3 = +\infty\)
\(\lim_{x\rightarrow +\infty } x^2-1 = +\infty\)
On est sur une forme indéterminée de type \("\frac{\infty }{\infty }"\)
f(x)= \(\large\frac{x^3}{x^2-1}\)
= \(\large\frac{x^3}{x^2(1-\frac{1}{x^2})}\)
= \(\large\frac{x^2}{1-\frac{1}{x^2}}\) il y a une erreur c'est \(\large\frac{x}{1-\frac{1}{x^2}}\)
\(\lim_{x\rightarrow +\infty } x^2 = +\infty\) devient \(\lim_{x\rightarrow +\infty } x = +\infty\)
\(\lim_{x\rightarrow +\infty } 1-\frac{1}{x^2} = 1\)
Par quotient, \(\lim_{x\rightarrow +\infty } f(x) = +\infty\)
SoS-math
Re: Etude de fonctions
Merci pour votre réponse !
J'avais oublié: Pour la 3., j'interprète géométriquement en disant qu'il y a deux asymptotes verticales x=1^+ et x=1^- ? Ou tout simplement x=1 ?
Pour la 4. je ne vois pas trop... C'est une fonction impaire, du coup \(\lim_{x\rightarrow -\infty } f(x)= -\infty\) ?
J'avais oublié: Pour la 3., j'interprète géométriquement en disant qu'il y a deux asymptotes verticales x=1^+ et x=1^- ? Ou tout simplement x=1 ?
Pour la 4. je ne vois pas trop... C'est une fonction impaire, du coup \(\lim_{x\rightarrow -\infty } f(x)= -\infty\) ?
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Re: Etude de fonctions
Pour la 3) il y a une asymptote verticale x=1
Pour la 4) la fonction est impaire : graphiquement cela signifie que la courbe admet l’origine du repère comme centre de symétrie et du coup tu peux en déduire \(\lim_{x\rightarrow -\infty } f(x)= -\infty\)
Je te laisse poursuivre la suite
Pour la 4) la fonction est impaire : graphiquement cela signifie que la courbe admet l’origine du repère comme centre de symétrie et du coup tu peux en déduire \(\lim_{x\rightarrow -\infty } f(x)= -\infty\)
Je te laisse poursuivre la suite
Re: Etude de fonctions
Pour la 5., il faut d'abord que je montre qu'il existe deux réels a et b. Je cherche depuis longtemps mais il n'y a rien qui me vient à l'esprit. Comment dois-je procéder ?