Etude de fonctions

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Maëlle

Re: Etude de fonctions

Message par Maëlle » mar. 29 déc. 2020 19:42

Pour la question 9.:

\(f'(x)= \frac{x^2(-3+x^2)}{(x^2+1)}\)

Les signes de chaque facteur:
\(x^2> 0\)
\(-3+x^2> 0\)
\((x^2+1)^2> 0\)

Je ne sais pas quelles valeurs mettre dans la ligne x, -1 et 1 ? Sauf que Si je cherche f(-1) et f(1) je tombe sur 0 dans le tableau de variations.
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Re: Etude de fonctions

Message par SoS-Math(33) » mar. 29 déc. 2020 19:49

Il te faut les valeurs de x qui annulent la dérivée
\(x^2 = 0 \) pour \(x = 0\)
\(-3 + x^2 = 0\) pour \(x = \sqrt{3}\) et \(x = -\sqrt{3}\)
\((x^2+1)^2\) ne s'annule pas
Donc les valeurs à mettre dans ton tableau sont \(-\sqrt{3}\) ; \(0\) ; \(\sqrt{3}\)
Maëlle

Re: Etude de fonctions

Message par Maëlle » mar. 29 déc. 2020 20:11

Merci pour votre réponse. Je ne sais pas comment intégrer un tableau de signe sur le forum du coup je vais essayer de vous le décrire.. :)

J'ai d'abord fait le tableau de signes complet de f'(x):
--> x^2 donne plus, plus, moins, moins
--> -3+x^2 donne plus, moins, moins, plus
--> (x^2+1)^2 donne plus, plus, plus, plus
Donc f'(x) donne plus, moins, plus, moins ?

Après j'ai rajouté les variations:
La courbe est strictement croissante de - l'infini jusqu'à \(\frac{-3\sqrt{3}}{2}\)
Ensuite elle est strictement décroissante de cette valeur jusqu'à 0.
Puis elle est strictement croissante de 0 à \(\frac{3\sqrt{3}}{2}\)
Enfin elle est strictement décroissante de cette valeur à plus l'infini

Je ne sais vraiment pas si c'est correct.
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Re: Etude de fonctions

Message par SoS-Math(33) » mar. 29 déc. 2020 20:29

Il y a une erreur pour \(x^2\), c'est toujours positif.
Par contre il faut aussi mettre les deux valeurs interdites -1 et 1.
J'ai oublié de le préciser mais je pensais que tu les mettrais.
Tu peux faire une photo si tu ne sais pas intégrer le tableau.
Tu dois avoir dans ton tableau \(-\infty ; -\sqrt{3} ; -1 ; 0 ; 1 ; \sqrt{3} ; +\infty\)
Maëlle

Re: Etude de fonctions

Message par Maëlle » mar. 29 déc. 2020 22:04

Voici ce que j'ai fait pour le tableau de signes de f'(x).
20201229_220010 (wecompress.com).jpg
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Re: Etude de fonctions

Message par SoS-Math(33) » mar. 29 déc. 2020 22:21

Je viens de me rendre compte d'une erreur le dénominateur de la dérivée est \((x^2-1)^2\) il faut le corriger

il te faut rajouter le zéro pour \(x^2\) à 0 et ainsi que pour \((x^2-1)^2\) à -1 et 1 ce qui donnent ensuite les doubles barres à \(f'(x)\) pour -1 et 1 pour montrer que ces deux valeurs sont interdites pour \(f'\)
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Re: Etude de fonctions

Message par SoS-Math(33) » mar. 29 déc. 2020 22:32

Si je reprends ça donne
\(f'(x)= \frac{x^2(-3+x^2)}{(x^2-1)^2}\)

\(x^2 = 0 \) pour \(x = 0\)
\(-3 + x^2 = 0\) pour \(x = \sqrt{3}\) et \(x = -\sqrt{3}\)
\((x^2-1)^2 = 0\) pour \(x = -1\) et \(x = 1\)
Donc les valeurs à mettre dans ton tableau sont \(-\sqrt{3}\) ; \(-1\) ; \(0\) ; \(1\) ; \(\sqrt{3}\) avec \(-1\) et \(1\) valeurs interdites pour \(f'(x)\)
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Re: Etude de fonctions

Message par Maëlle » mar. 29 déc. 2020 22:39

Oh là oui j'ai encore une fois tapé trop vite :')

Ca change tout pour mon tableau c'est déjà plus cohérent, je vous remercie ! A la fin j'ai pour f'(x) plus, moins, plus, moins, plus, moins.
Voici mon tableau entier.
20201229_223432 (wecompress.com).jpg
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Re: Etude de fonctions

Message par Maëlle » mar. 29 déc. 2020 23:03

Il est bon ?
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Re: Etude de fonctions

Message par SoS-Math(33) » mar. 29 déc. 2020 23:17

Ça arrive de faire des petites erreurs,
par contre ça ne changeait rien au tableau puisque \((x^2-1)^2\) est toujours positif
Au final tu dois obtenir le tableau suivant :
Capture.PNG
Capture.PNG (8.04 Kio) Vu 3589 fois
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Re: Etude de fonctions

Message par Maëlle » mar. 29 déc. 2020 23:42

Je n'ai jamais eu un tableau aussi lourd de toute ma scolarité x) Mais c'est beaucoup plus clair maintenant !
Pour la question 10:
Le théorème des valeurs intermédiaires apporte 3 caractéristiques à la fonction étudiée: un changement de signe, la continuité et une stricte monotonie. Pour montrer que f(x)=1 admet une unique solution \(\alpha\) sur Df, il faut montrer que f obéit à ces caractéristiques.

--> La fonction f est dérivable, donc continue sur Df
--> Comme on peut le voir dans le tableau de variations, la fonction est strictement décroissante sur [-1;1] et donc monotone.
--> f(-0,5)= 0,16 et f(0,5)= -0,16. Il y a donc bien un changement de signe.
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Re: Etude de fonctions

Message par SoS-Math(33) » mar. 29 déc. 2020 23:57

Il te faut aussi préciser que sur \(]-\infty ; -1[\) , \(f(x) \le \frac{-3\sqrt{3}}{2}\) donc \(f(x) \ne 1\)
et sur \(]1 ; +\infty[\), \(f(x) \ge \frac{3\sqrt{3}}{2}\) donc \(f(x) \ne 1\)
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Re: Etude de fonctions

Message par Maëlle » mer. 30 déc. 2020 00:01

D'accord. Grâce à tous ces éléments je peux conclure que f(x) = 1 admet une unique solution ?
Déterminer la valeur approchée... il faut utiliser Python non avec la méthode de balayage ? Ou je peux le faire avec ma calculatrice ?
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Re: Etude de fonctions

Message par SoS-Math(33) » mer. 30 déc. 2020 09:48

Bonjour Maëlle,
oui avec ce que tu as écrit (théorème des valeurs intermédiaires) et le complément sur les deux autres intervalles tu peux en déduire qu'il existe une unique solution pour f(x) = 1 et qu'elle est sur l'intervalle ]-1 ; 1[.
Pour la valeur approchée la méthode n'est pas imposée donc tu peux faire avec ta calculatrice ou même avec un tableur.
Maëlle

Re: Etude de fonctions

Message par Maëlle » mer. 30 déc. 2020 11:30

Bonjour !

\(-1< \alpha < 1\)
Du coup avec ma calculatrice, il faut que je cherche avec un pas de 0,1.
Je ne sais pas s'il faut que je cherche là où ça devient négatif (changement de signe) ? C'est tout nouveau pour moi.
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