Matrice

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Mina

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Message par Mina » mer. 9 déc. 2020 16:33

Bonjour, j'ai un exercice à compléter assez compliqué pour moi pourriez-vous m'aider svp ?
L'énoncé:
On considère la fonction θ de ℝ² dans ℂ qui au couple (a;b) associe le complexe z= a+ib.
1) Expliquer succinctement pourquoi θ est une bijection de ℝ² dans ℂ.

Ainsi, ℝ² peut à la fois être identifié à l'ensemble ℂ des nombres complexes, et à l'ensemble ξ= {M∈M2(R) / M= φ (a;b) où a∈R et b∈R}.
Par transitivité, cela signifie qu'on peut donc identifier ξ et ℂ.
On crée ainsi une troisième fonction T de ξ dans ℂ, en associant à toute matrice M de ξ, image de (a;b) par φ, le nombre complexe θ(a;b).

2) Calculer T\(\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}\) et T\(\begin{pmatrix} 0 & 1\\ -1 & 0 \end{pmatrix}\)
Puis, calculer l'image de la matrice \(\begin{pmatrix} \pi & \sqrt{2}\\ -\sqrt{2} & \pi \end{pmatrix}\) par T.

3) Calculer \(\begin{pmatrix} 6 & 2\\ -2 & 6 \end{pmatrix}\) + \(\begin{pmatrix} -5 & -1\\ 1 & -5 \end{pmatrix}\)
Calculer T\(\begin{pmatrix} 6 & 2\\ -2 & 6 \end{pmatrix}\) + T\(\begin{pmatrix} -5 & -1\\ 1 & -5 \end{pmatrix}\) et comparer le résultat à T(\(\begin{pmatrix} 6 & 2\\ -2 & 6 \end{pmatrix}\) + T\(\begin{pmatrix} -5 & -1\\ 1 & -5 \end{pmatrix}\))
Calculer T\(\begin{pmatrix} 6 & 2\\ -2 & 6 \end{pmatrix}\) * T\(\begin{pmatrix} -5 & -1\\ 1 & -5 \end{pmatrix}\) et comparer le résultat à T(\(\begin{pmatrix} 6 & 2\\ -2 & 6 \end{pmatrix}\) * T\(\begin{pmatrix} -5 & -1\\ 1 & -5 \end{pmatrix}\))

4) Soit a,b,a' et b' quatre réels.
Montrer que T(\(\begin{pmatrix} a & b\\ -b & a \end{pmatrix}\) + \(\begin{pmatrix} a' & b'\\ -b' & a' \end{pmatrix}\)) = T\(\begin{pmatrix} a & b\\ -b & a \end{pmatrix}\) + T\(\begin{pmatrix} a' & b'\\ -b' & a' \end{pmatrix}\)
Montrer de même que T(\(\begin{pmatrix} a & b\\ -b & a \end{pmatrix}\) * \(\begin{pmatrix} a' & b'\\ -b' & a' \end{pmatrix}\)) = T\(\begin{pmatrix} a & b\\ -b & a \end{pmatrix}\) * T\(\begin{pmatrix} a' & b'\\ -b' & a' \end{pmatrix}\)

5) Que vaut T(\(\begin{pmatrix} 0 & 1\\ -1 & 0 \end{pmatrix}\)² ?

J'aimerais pour l'instant une petite piste pour la 1) et voir si j'arrive à faire les questions suivantes... Merci d'avance !
sos-math(21)
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Re: Matrice

Message par sos-math(21) » ven. 11 déc. 2020 12:06

Bonjour,
Une application est bijective si et seulement si tout élément de son ensemble d'arrivée a un et un seul antécédent, c'est-à-dire est image d'exactement un élément (de son domaine de définition), ou encore si elle est injective et surjective.
pour montrer qu'une fonction est bijective, il faut donc montrer qu'elle est injective et surjective :
  • injectivité : tu supposes qu'il existe deux couples \((a,b)\) et \((a',b')\) tels que \(\theta(a,b)=\theta(a',b')\). Il faut alors montrer que \(a=a'\) et \(b=b'\). Cela prouve que tout élément de l'ensemble d'arrivée admet au plus un antécédent.
  • surjectivité : tu considères un élément \(z\) de l'ensemble d'arrivée et tu dois montrer qu'il existe un couple \((a,b)\), tel que \(z=\theta(a,b)\).
    Cela prouvera que tout élément de l'ensemble d'arrivée peut s'écrire sous la forme \(\theta(a,b)\) donc tout élément de l'ensemble d'arrivée admet au moins un antécédent.
Ainsi, en montrant ces deux points, tu démontres que ton application est bijective.
Bonne continuation
Mina

Re: Matrice

Message par Mina » ven. 11 déc. 2020 16:32

Merci beaucoup.

Du coup pour l'injectivité j'ai fait:
φ(a;b) = φ(a';b')
\(\begin{pmatrix} a & b\\ -b & a \end{pmatrix}\) = \(\begin{pmatrix} a' & b'\\ -b' & a' \end{pmatrix}\)
a=a et b=b'

Par contre pour la surjection je n'ai pas bien compris, dois-je partir de z= a+ib pour arriver à z= φ(a;b) ?
sos-math(21)
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Re: Matrice

Message par sos-math(21) » ven. 11 déc. 2020 18:31

Bonjour,
en fait, il suffit de l'écrire pour le démontrer.
Tout complexe \(z\) admet une écriture algébrique de la forme \(z=a+ib\) (par définition d'un nombre complexe).
Donc pour tout complexe \(z\in\mathbb{C}\), il existe \((a,b)\in\mathbb{R}^2\), tel que \(z=a+ib=\theta(a,b)\).
D'où la surjection.
Mina

Re: Matrice

Message par Mina » ven. 11 déc. 2020 19:19

Ah super merci infiniment! Et pour l'injectivité ma réponse est juste ? :) Juste pour être sûre: on parle bien du couple θ(a;b) pour la surjectivité et non de φ(a;b) comme dans l'injectivité ?

Pour la question 2, je ne comprends pas... Par exemple pour T\(\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}\) je dois écrire la matrice par rapport à z= a+ib et θ (a;b) ? Je remplace les valeurs par les coeff a et b ?
sos-math(21)
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Re: Matrice

Message par sos-math(21) » ven. 11 déc. 2020 20:48

On parle de \(\theta\) car on répond à la question 1 : j’ai corrigé dans mon message .
J’ai l’impression que tu parles de \(\varphi\), ce qui ne répond pas à la question.
Mina

Re: Matrice

Message par Mina » sam. 12 déc. 2020 10:14

Ah oui désolée !

Du coup pour pour l'injectivité:
θ(a;b) = θ(a';b')
\(\begin{pmatrix} a & b\\ -b & a \end{pmatrix}\) = \(\begin{pmatrix} a' & b'\\ -b' & a' \end{pmatrix}\)
a=a et b=b'

Pour la surjectivité : On considère un élément z de l'ensemble d'arrivée. Montrons qu'il existe un couple (a;b), tel que z= θ(a;b).
--> Tout complexe z admet une écriture algébrique de la forme z= a+ib. Donc pour tout élément de l'ensemble d'arrivée peut s'écrire sous la forme θ(a;b), donc tout élément de l'ensemble d'arrivée admet au moins un antécédent.

Merci encore :)

Pour la 2) je suis toujours bloquée..
sos-math(21)
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Re: Matrice

Message par sos-math(21) » sam. 12 déc. 2020 10:23

Bonjour,
Non, la fonction \(\theta\) ne manipule pas de matrice : \(\theta\) associe un couple de réels à un complexe : c'est juste l'identification de \(\mathbb{R}^2 \) au corps des complexes \(\mathbb{C}\).
Pour la question 2, ton application \(T\) transforme une matrice \(\begin{pmatrix}a&b\\-b&a\end{pmatrix}\) de \(\xi\) en le complexe \(z=a+ib\)
Donc \(T\left(\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\right)=1\).
Mina

Re: Matrice

Message par Mina » sam. 12 déc. 2020 10:32

Ah oui, donc pour T\(\begin{pmatrix} 0 & 1\\ -1 & 0 \end{pmatrix}\):

z= 0+i*1
=i

Donc T\(\begin{pmatrix} 0 & 1\\ -1 & 0 \end{pmatrix}\) = i
sos-math(21)
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Re: Matrice

Message par sos-math(21) » sam. 12 déc. 2020 10:34

Oui, c'est cela.
La suite devrait être plus facile désormais.
Bonne continuation
Mina

Re: Matrice

Message par Mina » sam. 12 déc. 2020 15:30

Je pense avoir enfin terminé, pourriez-vous me dire si c'est bon s'il vous plaît ?

2) Calculons T\(\begin{pmatrix} \pi & \sqrt{2}\\ -\sqrt{2} & \pi \end{pmatrix}\)
--> a= \(\pi\) et b= \(\sqrt{2}\)

Or z= a+ib
Alors z= \(\pi\) + i\(\sqrt{2}\)
--> Donc l'image de la matrice T\(\begin{pmatrix} \pi & \sqrt{2}\\ -\sqrt{2} & \pi \end{pmatrix}\) vaut z= \(\pi\) + i\(\sqrt{2}\).

3) Pour l'addition:
\(\begin{pmatrix} 6 & 2\\ -2 & 6 \end{pmatrix}\) + \(\begin{pmatrix} -5 & -1\\ 1 & -5 \end{pmatrix}\) = \(\begin{pmatrix} 1 & 1\\ -1 & 1 \end{pmatrix}\)

T\(\begin{pmatrix} 6 & 2\\ -2 & 6 \end{pmatrix}\) + T\(\begin{pmatrix} -5 & -1\\ 1 & -5 \end{pmatrix}\)
<=> z= 6+2i -5 -i
<=> 1+i

T( \(\begin{pmatrix} 6 & 2\\ -2 & 6 \end{pmatrix}\) + \(\begin{pmatrix} -5 & -1\\ 1 & -5 \end{pmatrix}\) )
= T\(\begin{pmatrix} 1 & 1\\ -1 & 1 \end{pmatrix}\)
<=> z= 1+i (on trouve donc le même résultant qu'auparavant)

Pour la multiplication:
T\(\begin{pmatrix} 6 & 2\\ -2 & 6 \end{pmatrix}\) * T\(\begin{pmatrix} -5 & -1\\ 1 & -5 \end{pmatrix}\)
<=> z= (6+2i)(-5-i)
<=> -28 -16i

T( \(\begin{pmatrix} 6 & 2\\ -2 & 6 \end{pmatrix}\) * \(\begin{pmatrix} -5 & -1\\ 1 & -5 \end{pmatrix}\) )
= \(\begin{pmatrix} -28 & -16\\ 16 & -28 \end{pmatrix}\)
<=> z= -28-16i (on trouve encore une fois le même résultat que précédemment)

4) Pour l'addition:

T(\(\begin{pmatrix} a & b\\ -b & a \end{pmatrix}\) + \(\begin{pmatrix} a' & b'\\ -b' & a' \end{pmatrix}\)
= T\(\begin{pmatrix} a+a' & b+b'\\ -b+(-b') & a+a' \end{pmatrix}\)
<=> z=(a+a') + i(b+b')

T\(\begin{pmatrix} a & b\\ -b & a \end{pmatrix}\) + T\(\begin{pmatrix} a' & b'\\ -b' & a' \end{pmatrix}\)
<=> z=(a+ib) + (a'+ib')
<=> a+a' +ib+ib'
<=> a+a'+i(b+b')
Les deux matrices sont donc égales.

Pour la multiplication je crois que j'ai fait une erreur quelque part je ne trouve pas la même chose ? :

T( \(\begin{pmatrix} a & b\\ -b & a \end{pmatrix}\) * \(\begin{pmatrix} a' & b'\\ -b' & a' \end{pmatrix}\) )
= T\(\begin{pmatrix} aa' & bb'\\ bb' & aa' \end{pmatrix}\)
<=> z= aa' + ibb'

T\(\begin{pmatrix} a & b\\ -b & a \end{pmatrix}\) * T\(\begin{pmatrix} a' & b'\\ -b' & a' \end{pmatrix}\)
<=> z= (a+ib)(a'+ib')
<=> aa'-bb'+i(ab'+ba')

Pourquoi je ne trouve pas la même chose ?

5) T(\(\begin{pmatrix} 0 & 1\\ -1 & 0 \end{pmatrix}\)²)
= T\(\begin{pmatrix} -1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix}\)
<=> z= -1
SoS-Math(25)
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Re: Matrice

Message par SoS-Math(25) » sam. 12 déc. 2020 15:59

Bonjour Mina,

C'est bien.

Pour l'avant dernière, il faut appliquer le principe de multiplication des matrices : lignes par colonnes

\(\begin{pmatrix} a & b\\ -b & a \end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} a' & b'\\ -b'& a'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} aa' + b\times(-b') & \ldots\\ \ldots & \ldots \end{pmatrix}\)

A bientôt
Mina

Re: Matrice

Message par Mina » sam. 12 déc. 2020 16:08

Ah mais oui... Merci beaucoup !

A bientôt bon week-end
Mina

Re: Matrice

Message par Mina » sam. 12 déc. 2020 16:14

J'ai une dernière question... Je n'ai pas bien compris l'injection pour la 1), comment prouver que θ(a;b) = θ(a':b') et a=a' / b=b' vu que je ne peux pas manipuler de matrices.
SoS-Math(25)
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Re: Matrice

Message par SoS-Math(25) » sam. 12 déc. 2020 16:35

Ici il faut manipuler des nombres complexes.

Il faut démontrer que si deux couples (a;b) et (a';b') ont la même image par \(\Theta\) alors nécessairement (a;b) = (a';b') (c'est à dire a = a' et b = b'). Autrement dit, l'antécédent est unique.

Pour cela, on part de :

\(\Theta (a;b) = \Theta(a';b') \Leftrightarrow a+ib = a' + ib' \Leftrightarrow \ldots\)

Je te laisse conclure.
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