DM fonctions et variable

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Julie

DM fonctions et variable

Message par Julie » lun. 7 déc. 2020 15:42

Bonjour,
j'ai un devoir maison de maths complémentaires pour jeudi et je dois dire
que je bloque complètement... Pourriez-vous m'aider svp ?

Pour une commande de x kg de pommes, le prix p(x) est donné:
On a p(x)=x+300/x+100 pour x appartient à l'intervalle
1) montrer que p(x)=1+200/x+100
je ne comprends pas comment répondre à cette question
2) calculer p(x)' et dresser le tableau de variation de la fonction p
je ne comprends pas comment calculer la dérivée d'un quotient
3) Quelle somme devra être dépensée pour acheter 150kg de pommes ? 700 kg
de pommes ?
4) On appelle S(x) la somme à dépenser pour faire une commande de x kg de
pommes vendues au prix de p(x) euros par kg
a) S(x)=(x) x p(x). Déterminer la limite en + l'infini. je ne comprends
pas comment la déterminer alors que nous n'avons pas les valeurs.
b) calculer S'(x), et dresser le tableau de variation sur
5) on dispose d'un budget de 900 euros.
Préciser, au kg près, le poids maximum de fruits que l'on peut commander
sans dépasser le budget. Justifier.
Voilà j'ai beauucoup de mal avec les fonctions... merci d'avance
SoS-Math(34)
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Re: DM fonctions et variable

Message par SoS-Math(34) » lun. 7 déc. 2020 22:26

Bonsoir Julie,

Je suppose qu'il manque les parenthèses dans la définition de p(x). Ne serait-ce pas plutôt (x + 300)/(x + 100)?
Quelques pistes :

1) Partir du résultat 1 + 200/(x + 100) et transformer l'écriture pour retrouver l'expression (x + 300)/(x + 100).
Pour cela, mettre 1 et 200/(x + 100) au même dénominateur.

2) p est de forme u/v donc p' = (u'v - uv')/v². (si tu choisis d'utiliser p(x) = (x+300)/(x + 100))
p est de la forme 1 + 200*1/v de dérivée 0 + 200*(-1/v²) = -200/v² si tu choisis l'expression p(x) = 1 - 200/(x + 100)
Les deux calculs donnent évidemment la même dérivée.

4)a) Trouve l'expression de S(x) en réduisant x.p(x) et étudie la limite du numérateur et du dénominateur. SI tu obtiens une forme indéterminée, transforme l'écriture de S(x).

b) Pour calculer S'(x), tu peux encore utiliser S=u/v puisque S(x) = x(x + 300)/(x + 100) = (x² + 300x)/(x + 100).

c) Ne pas dépasser 900 euros, c'est résoudre p(x) \(\leq 900\).
Tu peux pour cela résoudre l'inéquation par le calcul : (x + 300)/(x + 100) \(\leqslant 900\).
ou bien 1 + 200/(x + 100) \(\leqslant 900\).
Autre méthode : tracer la courbe de S à la calculatrice et la droite d'équation y = 900.
Le menu graph comporte un sous menu G-solv qui permet de trouver les coordonnées du point d'intersection de la courbe de p et de la droite. cela te donnera la réponse à ta question.

Bonne recherche
sosmaths
Julie

Re: DM fonctions et variable

Message par Julie » mar. 8 déc. 2020 10:41

Re bonjour,
merci pour votre aide
j'ai répondu aux premières questions, néanmoins je n'arrive pas à dresser le tableau de variation de p(x)
j'ai trouvé sa dérivée: p'(x)= - 200/(x+100)**2. J'ai dit que la dérivée est négative et donc que la fonction est décroissante, c'est ça qu'il faut dire ? et après comment faire le tableau de variations ? Il faut utiliser l'intervalle de définition ?
SoS-Math(34)
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Re: DM fonctions et variable

Message par SoS-Math(34) » mar. 8 déc. 2020 12:59

Bonjour Julie,

Ta dérivée est correcte et le signe de ta dérivée aussi : tu as donc conclu correctement, p est décroissante sur l'intervalle ... (donnée qui manque dans l'énoncé que tu as envoyé, mais je suppose qu'il est de la forme [0; a] avec a un réel à préciser)
Tu construis le tableau de variation de p sur [0;a] (flèche pour la décroissance bien sûr, mais n'oublie pas d'indiquer dans la 2ème ligne l'image de 0 par p et la valeur de p(a) aussi)
ainsi, ton tableau sera complet !

Bonne recherche
sosmaths
Julie

Re: DM fonctions et variable

Message par Julie » mar. 8 déc. 2020 20:48

Bonsoir,
merci pour le tableau de variation
j'ai une question pour la question 1, après avoir tous mis sous le même dénominateur, on obtient bien (1/X100)+(200/X+100) ? et après comment montrer que c'est égal à p(x) ?
Ensuite pour calculer la dérivée de S(x), sachant qu'on a déjà p'(x), comment fait-on pour calculer la dérivée de S(x) ?
merci
SoS-Math(33)
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Re: DM fonctions et variable

Message par SoS-Math(33) » mar. 8 déc. 2020 21:04

Bonsoir,
attention quand tu mets au même dénominateur tu fais une erreur.
\(1+\frac{200}{x+100} = \frac{x+100}{x+100}+\frac{200}{x+100}=\frac{x+100+200}{x+100}=\frac{x+300}{x+100} \)

Pour S'(x) tu as S(x) =xp(x) c'est la forme (uv) avec u = x et v = p(x)
A toi de faire le calcul avec la formule correspondante
SoS-math
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