Matrices

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Lisa

Matrices

Message par Lisa » jeu. 3 déc. 2020 17:34

Bonsoir à tous ! J'ai un DM de maths expertes à faire qui est hors programme d'après mon professeur, et je ne sais vraiment pas par où commencer... Pourriez-vous m'aider svp ?

Voici l'énoncé:

On considère la matrice I= (1 0 et la matrice J= (0 1
0 1) -1 0)

On note M2(R) l'ensemble des matrices carrées d'ordre 2 à coefficients réels. On rappelle que R² est le produit cartésien de R par lui-même c'est-à-dire l'ensemble des couples (a;b) où a∈R et b∈R. On note φ la fonction de R² dans M2R telle que φ(a;b) = aI + bJ.
On note enfin ξ le sous ensemble de M2(R) constitué des matrices qui sont l'image d'un couple (a;b) de R² par φ:
ξ= {M∈M2(R) / M= φ (a;b) où a∈R et b∈R}

1) Calculer φ(7;3) et φ(-5;2). On donnera la réponse sous forme d'un matrice carrée.
2) Montrer que I et J appartiennent à ξ. Autrement dit, trouver les couples (a;b) dont I et J sont les images.
3) Soit M une matrice de ξ. Exprimer M en explicitant ses quatre coefficients en fonction de a et b.
4) La matrice (1/3 4 appartient-elle à ξ ?
-4 2/3)
5) Exprimer J² en fonction de I, et montrer que J²∈ ξ.
6) Montrer que φ(a;b) = φ(a';b') <=> a = a'
b = b'
7) Montrer que ξ est stable par addition et multiplication, c'est-à-dire que si M et M' appartiennt à ξ, alors M+M et MM' également.

--> Pour la 1), j'ai fait:

7I = (7 0 3J = (0 3 <=> 7I+3J = (7 3
0 7) -3 0) -3 7)

-5I = (-5 0 2J = (0 2 <=> -5I+2J = (-5 2
0 -5) -2 0) -2 -5)

Pour la 2), je n'en ai aucune idée :(

Merci d'avance pour votre réponse :D
sos-math(21)
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Re: Matrices

Message par sos-math(21) » jeu. 3 déc. 2020 17:37

Bonjour,
je ne comprends pas tes notations de matrice I et J : ce sont des matrices 2x2 ou des matrices lignes ?
Merci de préciser l'écriture de ces matrices afin que nous t'aidions du mieux possible.
À bientôt
Lisa

Re: Matrices

Message par Lisa » jeu. 3 déc. 2020 17:40

Je suis désolée les matrices se sont mises n'importe comment quand j'ai envoyé mon message.. Comment insère-t-on les matrices ?
sos-math(21)
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Re: Matrices

Message par sos-math(21) » jeu. 3 déc. 2020 17:52

Tu peux les insérer avec des balises latex :

Code : Tout sélectionner

\(\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\)

Le code précédent donne :
\( \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\)
Bonne écriture
Lisa

Re: Matrices

Message par Lisa » jeu. 3 déc. 2020 17:53

C'est bon j'ai trouvé merci !

Voici l'énoncé (un peu plus propre):

On considère la matrice I= \(\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0& 1 \end{pmatrix}\) et J= \(\begin{pmatrix} 0 & 1\\ -1 & 0 \end{pmatrix}\)


On note M2(R) l'ensemble des matrices carrées d'ordre 2 à coefficients réels. On rappelle que R² est le produit cartésien de R par lui-même c'est-à-dire l'ensemble des couples (a;b) où a∈R et b∈R. On note φ la fonction de R² dans M2R telle que φ(a;b) = aI + bJ.
On note enfin ξ le sous ensemble de M2(R) constitué des matrices qui sont l'image d'un couple (a;b) de R² par φ:
ξ= {M∈M2(R) / M= φ (a;b) où a∈R et b∈R}

1) Calculer φ(7;3) et φ(-5;2). On donnera la réponse sous forme d'un matrice carrée.
2) Montrer que I et J appartiennent à ξ. Autrement dit, trouver les couples (a;b) dont I et J sont les images.
3) Soit M une matrice de ξ. Exprimer M en explicitant ses quatre coefficients en fonction de a et b.
4) La matrice \(\begin{pmatrix} 1/3 & 4\\ -4 & 2/3 \end{pmatrix}\) appartient-elle à ξ ?
5) Exprimer J² en fonction de I, et montrer que J²∈ ξ.
6) Montrer que φ(a;b) = φ(a';b') <=> a = a' et b = b'
7) Montrer que ξ est stable par addition et multiplication, c'est-à-dire que si M et M' appartiennt à ξ, alors M+M et MM' également.

--> Pour la 1) du coup :

7I = \(\begin{pmatrix} 7 & 0\\ 0 & 7 \end{pmatrix}\)
3J= \(\begin{pmatrix} 0 & 3\\ -3 & 0 \end{pmatrix}\)
7I + 3J= \(\begin{pmatrix} 7 & 3\\ -3 & 7 \end{pmatrix}\)


-5I = \(\begin{pmatrix} -5 & 0\\ 0 & -5 \end{pmatrix}\)
2J= \(\begin{pmatrix} 0 & 2\\ -2 & 0 \end{pmatrix}\)
-5I + 2J= \(\begin{pmatrix} -5 & 2\\ -2 & -5 \end{pmatrix}\)
sos-math(21)
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Re: Matrices

Message par sos-math(21) » jeu. 3 déc. 2020 17:59

Bonjour,
tes calculs sont corrects
Pour la 2, il faut trouver un couple \((a,b)\) tel que \(aI+bJ=I\), ce qui donne \(\begin{pmatrix}a&b\\-b&a\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\) Cela devrait être facile à trouver. Ou encore plus simplement \(1\times I+0\times J=I\)
Pour \(J\), il faut trouver un couple \((a,b)\) tel que \(aI+bJ=J\), ce qui donne \(\begin{pmatrix}a&b\\-b&a\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}\) Cela devrait être facile à trouver. Ou encore plus simplement \(0\times I+1\times J=J\)
Bonne suite
Lisa

Re: Matrices

Message par Lisa » jeu. 3 déc. 2020 18:13

Merci !

Pour I :
aI + bJ= I

\(\begin{pmatrix} a & 0\\ 0 & a \end{pmatrix}\) + \(\begin{pmatrix} 0 & b\\ -b & 0 \end{pmatrix}\) = \(\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}\)

\(\begin{pmatrix} a & b\\ -b & a \end{pmatrix}\) = \(\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}\)

Donc a=1 et b=0. La matrice I est l'image du couple (1;0).

Pour J :
aI + bJ= J

\(\begin{pmatrix} a & 0\\ 0 & a \end{pmatrix}\) + \(\begin{pmatrix} 0 & b\\ -b & 0 \end{pmatrix}\) = \(\begin{pmatrix} 0 & 1\\ -1 & 0 \end{pmatrix}\)

\(\begin{pmatrix} a & b\\ -b & a \end{pmatrix}\) = \(\begin{pmatrix} 0 & 1\\ -1 & 0 \end{pmatrix}\)

Donc a=0 et b=1. La matrice J est l'image du couple (0;1).

Cela suffit pour prouver que I et J appartiennent à ξ ?
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Re: Matrices

Message par SoS-Math(34) » jeu. 3 déc. 2020 18:51

Oui, cela suffit, mais tu peux faire plus simple. Tu n'es pas obligée de rédiger avec les matrices.

I = 1I + 0J = \(\varphi \left ( 1;0 \right )\)
J = 0I + 1J = \(\varphi \left ( 0;1 \right )\)

Bonne continuation,
Sosmaths
Lisa

Re: Matrices

Message par Lisa » jeu. 3 déc. 2020 18:58

D'accord.

Pour la 3), M= φ (a;b) = aI + bJ
Mais dans la question précédente, j'ai trouvé deux valeurs de a différentes: 1 et 0 et deux valeurs de b différentes: 1 et 0. Je dois prendre lesquelles pour trouver la matrice M ? Je peux faire tout simplement M= 1I + 0J ?
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Re: Matrices

Message par SoS-Math(7) » jeu. 3 déc. 2020 20:38

Bonjour Lisa,

A la question 3), tu reviens dans le cas général. La matrice \(M= φ (a;b) = aI + bJ\). Écris simplement cette matrice avec les nombres réels \(a\) et \(b\). En fait, tu as déjà utilisé cette écriture.

Bonne continuation.
Lisa

Re: Matrices

Message par Lisa » ven. 4 déc. 2020 14:00

3) M= \(\begin{pmatrix} a & 0\\ 0 & a \end{pmatrix}\) + \(\begin{pmatrix} 0 & b\\ -b & 0 \end{pmatrix}\)

= \(\begin{pmatrix} a & b\\ -b & a \end{pmatrix}\)

C'est bon ? :)

4) La matrice \(\begin{pmatrix} 1/3 & 4\\ -4 & 2/3 \end{pmatrix}\) n'appartient pas à ξ, car a= 1/3 est différent de a=2/3.
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Re: Matrices

Message par sos-math(21) » ven. 4 déc. 2020 14:07

Bonjour,
tes réponses sont correctes.
Bonne continuation
Lisa

Re: Matrices

Message par Lisa » sam. 5 déc. 2020 11:41

Super merci !

Pour la 5) je pense avoir trouvé:

J²= \(\begin{pmatrix} 0 & 1\\ -1 & 0 \end{pmatrix}\) \(\begin{pmatrix} 0 & 1\\ -1 & 0 \end{pmatrix}\)
= \(\begin{pmatrix} -1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix}\)

Donc J²= -1*I= -I
La matrice J² appartient à ξ, car a=-1 et b=0 (-0=0).

Pour la 6) je suis de nouveau bloquée, je dois résoudre un système ?
sos-math(21)
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Re: Matrices

Message par sos-math(21) » sam. 5 déc. 2020 11:52

Bonjour,
oui c'est bon.
Pour la 6, c'est très rapide car tu identifies les coefficients emplacement par emplacement, ce qui te donnera vite \(a=a'\) et \(b=b'\).
Pour la 7 c'est extrêmement simple aussi : il suffit d'écrire les conditions et cela se déduit rapidement.
Bonne continuation
Lisa

Re: Matrices

Message par Lisa » sam. 5 déc. 2020 12:05

Pour la 6):

φ(a;b) = \(\begin{pmatrix} a & b\\ -b & a \end{pmatrix}\)

φ(a';b')= \(\begin{pmatrix} a' & b'\\ -b' & a' \end{pmatrix}\)

a=a'
b=b'
-b=-b'

--> Donc φ(a;b) = φ(a';b').

Pour la 7):

Comme on l'a démontré à la question 3), M est une matrice de ξ. Puisque φ(a;b) = φ(a';b'), alors M=M' et donc M' appartient également à ξ.

M+M'= \(\begin{pmatrix} a & b\\ -b & a \end{pmatrix}\) + \(\begin{pmatrix} a' & b'\\ -b' & a' \end{pmatrix}\)
A ce niveau j'additionne simplement les matrices ?
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