Bonjour,
Je suis Martin, en prépa TSI, je vous avais déjà envoyé un message avec une question il y a quelques jours.
Maintenant j'ai encore une question de maths, sur les coefficients de Fourier, mais la question est de niveau terminale, c'est un calcul d'intégrale...
Ici, dans mon cours, page 3 : http://vonbuhren.free.fr/Prepa/TSI/seri ... _cours.pdf, j'ai à droite la définition des coefficients de Fourier.
J'ai un exercice corrigé qui me pose problème, c'est l'exercice 1 qui est ici : http://vonbuhren.free.fr/Prepa/TSI/seri ... rcices.pdf
Et voici le corrigé : http://vonbuhren.free.fr/Prepa/TSI/seri ... es_cor.pdf
J'arrive pas à obtenir ce qu'ils ont dans la correction de l'exo 1.
Je suis d'accord avec le fait que comme f est impaire, on a an = 0 pour tout n ∈ N.
Mais j'arrive pas à trouver ce qu'ils obtiennent pour bn.
Voici ce que je fais :
D'après le cours (que je vous ai donné au dessus), on a :
\(b_n(f)=\frac{2}{T}\int_{0}^{T}f(t)sin(n\omega t)dt
= \frac{2}{2\pi }\int_{0}^{2\pi}f(t)sin(n\omega t)dt\)
Et là je suis bloqué : on a une intégrale entre 0 et 2pi alors que la fonction est définie uniquement sur ]0;pi[ !
Alors que faire ?
Voilà comment je continue :
\(b_n(f)= \frac{1}{\pi }\int_{0}^{\pi}sin(n\omega t)dt = \frac{1}{\pi }[\frac{-1}{n\omega}cos(n\omega t)+ \frac{1}{n\omega}] = \frac{1}{n\omega \pi}(-cos(n\omega \pi)+1)\)
J'imagine que c'est faux puisqu'on n'obtient pas le même résultat que dans le corrigé, mais pourquoi c'est faux ? Comment obtenir ce qui est obtenu dans le corrigé ?
Merci de l'explication, bonne journée.
Martin
Coefficient / Intégrale
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Martin
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sos-math(21)
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Re: Coefficient / Intégrale
Bonjour,
on te dit que ta fonction est \(2\pi\) périodique et impaire donc si elle vaut \(1\) sur \([0\,;\,\pi]\), elle vaut \(-1\) sur \([-\pi\,;\,0]\) donc par périodicité, en se décalant de \(2\pi\), elle vaut aussi \(-1\) sur \([\pi\,;\,2\pi]\).
Donc ton calcul d'intégrale revient à calculer \(\displaystyle b_n=\dfrac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}\sin(nt)dt-\dfrac{1}{\pi}\int_{\pi}^{2\pi}\sin(nt)dt\) car \(\omega=\dfrac{2\pi}{T}=1\).
la fonction \(t\mapsto sin(nt)\) a pour primitive \(-\dfrac{1}{n}cos(nt)\). Donc en calculant les images des bornes des intégrales on a :
\(b_n=\dfrac{1}{\pi}\left(-\dfrac{cos(n\pi)}{n}+\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n}-\dfrac{cos(n\pi)}{n}\right)=\dfrac{2(1-(-1)^n)}{n\pi}\), car \(cos(n\pi)=(-1)^n\).
Je te laisse le soin de refaire les calculs pour t'en convaincre.
on te dit que ta fonction est \(2\pi\) périodique et impaire donc si elle vaut \(1\) sur \([0\,;\,\pi]\), elle vaut \(-1\) sur \([-\pi\,;\,0]\) donc par périodicité, en se décalant de \(2\pi\), elle vaut aussi \(-1\) sur \([\pi\,;\,2\pi]\).
Donc ton calcul d'intégrale revient à calculer \(\displaystyle b_n=\dfrac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}\sin(nt)dt-\dfrac{1}{\pi}\int_{\pi}^{2\pi}\sin(nt)dt\) car \(\omega=\dfrac{2\pi}{T}=1\).
la fonction \(t\mapsto sin(nt)\) a pour primitive \(-\dfrac{1}{n}cos(nt)\). Donc en calculant les images des bornes des intégrales on a :
\(b_n=\dfrac{1}{\pi}\left(-\dfrac{cos(n\pi)}{n}+\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n}-\dfrac{cos(n\pi)}{n}\right)=\dfrac{2(1-(-1)^n)}{n\pi}\), car \(cos(n\pi)=(-1)^n\).
Je te laisse le soin de refaire les calculs pour t'en convaincre.
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Invité
Re: Coefficient / Intégrale
Merci beaucoup de votre réponse.
En fait, c'est OK pour les calculs d'intégrales.
Tout ce que je comprends pas dans votre message, c'est ça :
Comment représenter la fonction graphiquement avec uniquement la donnée de l'énoncé ?
En fait, c'est OK pour les calculs d'intégrales.
Tout ce que je comprends pas dans votre message, c'est ça :
Pourriez-vous m'expliquer comment vous obtenez les valeurs -1 ?on te dit que ta fonction est 2π périodique et impaire donc si elle vaut 1 sur [0;π], elle vaut −1 sur [−π;0] donc par périodicité, en se décalant de 2π, elle vaut aussi −1 sur [π;2π].
Comment représenter la fonction graphiquement avec uniquement la donnée de l'énoncé ?
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sos-math(21)
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Re: Coefficient / Intégrale
Une fonction est impaire sur un domaine symétrique par rapport à 0, si \(f(-x)=-f(x)\) : cela signifie que la courbe est symétrique par rapport à l'origine.
Donc si \(f(x)=1\) sur \([0\,;\,\pi]\), alors \(f(x)=-1\) sur \([-\pi\,;\,0]\).
Bonne continuation
Donc si \(f(x)=1\) sur \([0\,;\,\pi]\), alors \(f(x)=-1\) sur \([-\pi\,;\,0]\).
Bonne continuation
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Invité
Re: Coefficient / Intégrale
Ah d'accord, merci beaucoup ! J'ai compris.
J'ai une autre question sur le même sujet : https://www.cjoint.com/data/JLcobn3Vnl4_exercice1.png
Ici, quelles seraient les bornes de l'intégrale ? Je n'y arrive pas, il y a notamment un problème : la fonction f n'est pas définie de la même manière partout sur la période...
Pourriez vous m'expliquer comment faire svp ?
merci
J'ai une autre question sur le même sujet : https://www.cjoint.com/data/JLcobn3Vnl4_exercice1.png
Ici, quelles seraient les bornes de l'intégrale ? Je n'y arrive pas, il y a notamment un problème : la fonction f n'est pas définie de la même manière partout sur la période...
Pourriez vous m'expliquer comment faire svp ?
merci
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sos-math(21)
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Re: Coefficient / Intégrale
Bonjour,
ta fonction est 10 périodique dont la définition de base est construite sur l'intervalle \([-5\,;\,5]\).
Il te suffit de calculer les intégrales sur les intervalles où la fonction est continue :
\(\displaystyle \int_{-5}^{0}...dt+\int_{0}^{5}...dt\)
Bonne continuation
ta fonction est 10 périodique dont la définition de base est construite sur l'intervalle \([-5\,;\,5]\).
Il te suffit de calculer les intégrales sur les intervalles où la fonction est continue :
\(\displaystyle \int_{-5}^{0}...dt+\int_{0}^{5}...dt\)
Bonne continuation
-
Invité
Re: Coefficient / Intégrale
Merci beaucoup pour l'aiguillage. Voici ce que j'ai fait. Est-ce correct ?
Les coefficients de Fourier trigonométriques de f sont pour tout n entier naturel non nul les réels :
\(a_n(f)=\frac{2}{10}\int_{-5}^{5}f(t)cos(n\omega t)dt\)
et : \(b_n(f)=\frac{2}{10}\int_{-5}^{5}f(t)sin(n\omega t)dt\)
On obtient donc :
\(a_n(f)=\frac{2}{10}\int_{-5}^{0}0*cos(n\omega t)dt + \frac{2}{10}\int_{0}^{5}3*cos(n\omega t)dt\)
\(b_n(f)=\frac{2}{10}\int_{-5}^{0}0*sin(n\omega t)dt + \frac{2}{10}\int_{0}^{5}3*sin(n\omega t)dt\)
Soit :
\(a_n(f)= \frac{2}{10}\int_{0}^{5}3*cos(n\omega t)dt\)
\(b_n(f)= \frac{2}{10}\int_{0}^{5}3*sin(n\omega t)dt\)
Après calcul, on obtient :
\(a_n(f)= \frac{6}{10}\int_{0}^{5}cos(n\omega t)dt = \frac{6}{10} [\frac{1}{ n\omega} sin (n\omega t)]_0 ^5 = \frac{6}{10} (\frac{1}{ n\omega} sin (5 n\omega)).\)
On obtient finalement (comme \(\omega = \frac{2 \pi}{10}\)) : \(a_n(f)= \frac{3}{n \pi} sin (n \pi).\)
D'autre part :
\(b_n(f)= \frac{6}{10}\int_{0}^{5}sin(n\omega t)dt =\frac{6}{10} [-\frac{1}{ n\omega} cos (n\omega t)]_0 ^5=\frac{6}{10} (-\frac{1}{ n\omega} cos (5 n \omega) + \frac{1}{ n\omega}).\)
Ici comment simplifier plus ?
Enfin :
\(a_0(f)= \frac{1}{10} int_{-5}^{5}f(t)dt = \frac{3}{10} \int_{0}^{5} dt = \frac{3}{2}.\)
Voyez-vous des erreurs dans tout ce que j'ai écrit ? Merci de l'aide !
Les coefficients de Fourier trigonométriques de f sont pour tout n entier naturel non nul les réels :
\(a_n(f)=\frac{2}{10}\int_{-5}^{5}f(t)cos(n\omega t)dt\)
et : \(b_n(f)=\frac{2}{10}\int_{-5}^{5}f(t)sin(n\omega t)dt\)
On obtient donc :
\(a_n(f)=\frac{2}{10}\int_{-5}^{0}0*cos(n\omega t)dt + \frac{2}{10}\int_{0}^{5}3*cos(n\omega t)dt\)
\(b_n(f)=\frac{2}{10}\int_{-5}^{0}0*sin(n\omega t)dt + \frac{2}{10}\int_{0}^{5}3*sin(n\omega t)dt\)
Soit :
\(a_n(f)= \frac{2}{10}\int_{0}^{5}3*cos(n\omega t)dt\)
\(b_n(f)= \frac{2}{10}\int_{0}^{5}3*sin(n\omega t)dt\)
Après calcul, on obtient :
\(a_n(f)= \frac{6}{10}\int_{0}^{5}cos(n\omega t)dt = \frac{6}{10} [\frac{1}{ n\omega} sin (n\omega t)]_0 ^5 = \frac{6}{10} (\frac{1}{ n\omega} sin (5 n\omega)).\)
On obtient finalement (comme \(\omega = \frac{2 \pi}{10}\)) : \(a_n(f)= \frac{3}{n \pi} sin (n \pi).\)
D'autre part :
\(b_n(f)= \frac{6}{10}\int_{0}^{5}sin(n\omega t)dt =\frac{6}{10} [-\frac{1}{ n\omega} cos (n\omega t)]_0 ^5=\frac{6}{10} (-\frac{1}{ n\omega} cos (5 n \omega) + \frac{1}{ n\omega}).\)
Ici comment simplifier plus ?
Enfin :
\(a_0(f)= \frac{1}{10} int_{-5}^{5}f(t)dt = \frac{3}{10} \int_{0}^{5} dt = \frac{3}{2}.\)
Voyez-vous des erreurs dans tout ce que j'ai écrit ? Merci de l'aide !
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sos-math(21)
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Re: Coefficient / Intégrale
Bonjour,
ta démarche est correcte et tes calculs semblent exacts.
tu dois pouvoir simplifier la valeur \(sin(n\pi)\) : regarde sur le cercle trigonométrique les positions de ces nombres.
Même chose pour \(cos(n\pi)\).
ta démarche est correcte et tes calculs semblent exacts.
tu dois pouvoir simplifier la valeur \(sin(n\pi)\) : regarde sur le cercle trigonométrique les positions de ces nombres.
Même chose pour \(cos(n\pi)\).
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Invité
Re: Coefficient / Intégrale
Merci beaucoup.
Je n'ai pas réussi à simplifier en regardant le cercle trigo...
Quelle est cette simplification à effectuer ?
Je n'ai pas réussi à simplifier en regardant le cercle trigo...
Quelle est cette simplification à effectuer ?
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sos-math(21)
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- Enregistré le : lun. 30 août 2010 11:15
Re: Coefficient / Intégrale
Bonjour,
les réels \(n\pi\) sont situés sur le cercle à la valeur 0 ou à la valeur \(\pi\) : c'est-à-dire les points de coordonnées (1,0) et (0,1).
Ces points ont tous les deux une ordonnées nulle donc pour tout entier \(n\), \(sin(n\pi)=0\).
De même, leurs abscisses vaut -1 ou 1 selon la parité de \(n\) : \(\cos(2k\pi)=cos(0)=1\) et \(cos((2k+1)\pi)=cos(\pi)=-1\)
Ainsi \(cos(n\pi)=(-1)^n\).
Bonne conclusion
les réels \(n\pi\) sont situés sur le cercle à la valeur 0 ou à la valeur \(\pi\) : c'est-à-dire les points de coordonnées (1,0) et (0,1).
Ces points ont tous les deux une ordonnées nulle donc pour tout entier \(n\), \(sin(n\pi)=0\).
De même, leurs abscisses vaut -1 ou 1 selon la parité de \(n\) : \(\cos(2k\pi)=cos(0)=1\) et \(cos((2k+1)\pi)=cos(\pi)=-1\)
Ainsi \(cos(n\pi)=(-1)^n\).
Bonne conclusion
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Invité
Re: Coefficient / Intégrale
Ah oui merci !
Donc on est d'accord que pour tout n entier naturel non nul, an = 0 ?
De plus : comment simplifier l'expression de bn ?
Je pense qu'il faut faire une disjonction de cas : exprimer bn dans le cas pair / dans le cas impair, mais comment l'écrire concrètement ?
Merci je comprends bien grâce a vous !
Donc on est d'accord que pour tout n entier naturel non nul, an = 0 ?
De plus : comment simplifier l'expression de bn ?
Je pense qu'il faut faire une disjonction de cas : exprimer bn dans le cas pair / dans le cas impair, mais comment l'écrire concrètement ?
Merci je comprends bien grâce a vous !
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sos-math(21)
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- Enregistré le : lun. 30 août 2010 11:15
Re: Coefficient / Intégrale
Bonjour,
oui, \(a_n=0\) et si tu lis bien mon message, je t'ai parlé de \(cos(n\pi)\) qui doit intervenir dans \(b_n\) : cela permet donc de simplifier l'écriture de \(b_n\).
oui, \(a_n=0\) et si tu lis bien mon message, je t'ai parlé de \(cos(n\pi)\) qui doit intervenir dans \(b_n\) : cela permet donc de simplifier l'écriture de \(b_n\).
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Invité
Re: Coefficient / Intégrale
Le problème ici c'est qu'on a cos (5nw) et pas cos (nw), alors comment faire le lien entre les 2 ?
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sos-math(21)
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- Enregistré le : lun. 30 août 2010 11:15
Re: Coefficient / Intégrale
Bonjour,
je ne comprends pas bien.. tu n'as pas le même nombre dans tes cosinus et sinus au niveau de tes coefficients de Fourier ?
tu avais \(5n\omega\) dans ton sinus, ce que tu as converti en \(n\pi\). Pourquoi ne le fais-tu pas dans le cos ?
Quelque chose m'échappe ?
je ne comprends pas bien.. tu n'as pas le même nombre dans tes cosinus et sinus au niveau de tes coefficients de Fourier ?
tu avais \(5n\omega\) dans ton sinus, ce que tu as converti en \(n\pi\). Pourquoi ne le fais-tu pas dans le cos ?
Quelque chose m'échappe ?
Invité a écrit : ↑mer. 2 déc. 2020 16:18Merci beaucoup pour l'aiguillage. Voici ce que j'ai fait. Est-ce correct ?
Les coefficients de Fourier trigonométriques de f sont pour tout n entier naturel non nul les réels :
\(a_n(f)=\frac{2}{10}\int_{-5}^{5}f(t)cos(n\omega t)dt\)
et : \(b_n(f)=\frac{2}{10}\int_{-5}^{5}f(t)sin(n\omega t)dt\)
On obtient donc :
\(a_n(f)=\frac{2}{10}\int_{-5}^{0}0*cos(n\omega t)dt + \frac{2}{10}\int_{0}^{5}3*cos(n\omega t)dt\)
\(b_n(f)=\frac{2}{10}\int_{-5}^{0}0*sin(n\omega t)dt + \frac{2}{10}\int_{0}^{5}3*sin(n\omega t)dt\)
Soit :
\(a_n(f)= \frac{2}{10}\int_{0}^{5}3*cos(n\omega t)dt\)
\(b_n(f)= \frac{2}{10}\int_{0}^{5}3*sin(n\omega t)dt\)
Après calcul, on obtient :
\(a_n(f)= \frac{6}{10}\int_{0}^{5}cos(n\omega t)dt = \frac{6}{10} [\frac{1}{ n\omega} sin (n\omega t)]_0 ^5 = \frac{6}{10} (\frac{1}{ n\omega} sin (5 n\omega)).\)
On obtient finalement (comme \(\omega = \frac{2 \pi}{10}\)) : \(a_n(f)= \frac{3}{n \pi} sin (n \pi).\)
D'autre part :
\(b_n(f)= \frac{6}{10}\int_{0}^{5}sin(n\omega t)dt =\frac{6}{10} [-\frac{1}{ n\omega} cos (n\omega t)]_0 ^5=\frac{6}{10} (-\frac{1}{ n\omega} cos (5 n \omega) + \frac{1}{ n\omega}).\)
Ici comment simplifier plus ?
Enfin :
\(a_0(f)= \frac{1}{10} int_{-5}^{5}f(t)dt = \frac{3}{10} \int_{0}^{5} dt = \frac{3}{2}.\)
Voyez-vous des erreurs dans tout ce que j'ai écrit ? Merci de l'aide !
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Invité
Re: Coefficient / Intégrale
Ah oui non c'est bon j'ai compris ! Désolé, je suis fatigué...
Par contre, j'ai un autre exo un peu plus dur : https://www.cjoint.com/data/JLcsuE2drc4_3et4.png
Dans la Q3, qu'est-ce que ça signifie "en série de Fourier cosinus" et "en série de Fourier sinus" ?
On aurait 2 séries de Fourier ?!
Par contre, j'ai un autre exo un peu plus dur : https://www.cjoint.com/data/JLcsuE2drc4_3et4.png
Dans la Q3, qu'est-ce que ça signifie "en série de Fourier cosinus" et "en série de Fourier sinus" ?
On aurait 2 séries de Fourier ?!