Complexes et Arithmétique
Posté : mer. 25 nov. 2020 15:53
Bonjour, j'ai un DM à rendre et je n'y comprend rien du tout. J'aurai besoin d'aide svp
EXERCICE 1 On considère la fonction f qui à tout complexe z, associe son image f(z) = z
2 + 2z + 9.
1. Calculer l’image de −1 + i√
3 par f.
2. Si on pose z = x + iy, donner l’écriture sous forme algébrique de f(z).
3. Quels sont les nombres complexes qui possèdent une image réelle par f ?
EXERCICE 2 On considère la polynôme P à coefficients complexes défini sur C par
P(z) = z
3 − 2(√
2 − i)z
2 + (3 − 4i√
2)z + 6i
1. Montrer que −2i est une racine du polynôme P.
2. Déterminer les réels a, b et c tels que, pour tout nombre complexe z, P(z) = (z + 2i)(az2 + bz + c).
3. Résoudre alors dans C l’équation P(z) = 0. On écrira les solutions sous forme algébrique.
EXERCICE 3 Pour chacune des propositions suivantes indiquer si elle est vraie ou fausse. Justifier les réponses par
une preuve lorsque c’est vrai et par un contre exemple lorsque c’est faux.
1. Proposition : Le produit d’un entier impair par un entier pair est un entier pair.
2. Proposition :Soient a, b et c trois entiers relatifs. Si a divise b + c alors a divise b ou a divise c.
3. Soit n un entier naturel. On considère les deux entiers a et b définis par :
a = 2n
2 + 7n + 21 et b = 2n + 2.
Proposition : Pour tout entier naturel n, le quotient et le reste de la division euclidienne de a par b sont
respectivement égaux à n + 2 et n + 17.
4. Soit N un entier naturel dont l’écriture en base 10 est aba7.
Proposition : « Si N est divisible par 7 alors a + b est divisible par 7. »
EXERCICE 4 Déterminer l’ensemble des entiers relatifs n tels que la fraction 11n − 6
3n + 1
peut se simplifier sous la
forme d’un entier relatif.
EXERCICE 5 1. Justifier que tout entier s’écrit sous la forme 3k ou 3k + 1 ou 3k + 2 avec k ∈ Z.
2. Démontrer que pour tout n ∈ N, n(5n
2 − 2) est divisible par 3. On pourra raisonner par disjonction des cas.
Sujet PDf :
EXERCICE 1 On considère la fonction f qui à tout complexe z, associe son image f(z) = z
2 + 2z + 9.
1. Calculer l’image de −1 + i√
3 par f.
2. Si on pose z = x + iy, donner l’écriture sous forme algébrique de f(z).
3. Quels sont les nombres complexes qui possèdent une image réelle par f ?
EXERCICE 2 On considère la polynôme P à coefficients complexes défini sur C par
P(z) = z
3 − 2(√
2 − i)z
2 + (3 − 4i√
2)z + 6i
1. Montrer que −2i est une racine du polynôme P.
2. Déterminer les réels a, b et c tels que, pour tout nombre complexe z, P(z) = (z + 2i)(az2 + bz + c).
3. Résoudre alors dans C l’équation P(z) = 0. On écrira les solutions sous forme algébrique.
EXERCICE 3 Pour chacune des propositions suivantes indiquer si elle est vraie ou fausse. Justifier les réponses par
une preuve lorsque c’est vrai et par un contre exemple lorsque c’est faux.
1. Proposition : Le produit d’un entier impair par un entier pair est un entier pair.
2. Proposition :Soient a, b et c trois entiers relatifs. Si a divise b + c alors a divise b ou a divise c.
3. Soit n un entier naturel. On considère les deux entiers a et b définis par :
a = 2n
2 + 7n + 21 et b = 2n + 2.
Proposition : Pour tout entier naturel n, le quotient et le reste de la division euclidienne de a par b sont
respectivement égaux à n + 2 et n + 17.
4. Soit N un entier naturel dont l’écriture en base 10 est aba7.
Proposition : « Si N est divisible par 7 alors a + b est divisible par 7. »
EXERCICE 4 Déterminer l’ensemble des entiers relatifs n tels que la fraction 11n − 6
3n + 1
peut se simplifier sous la
forme d’un entier relatif.
EXERCICE 5 1. Justifier que tout entier s’écrit sous la forme 3k ou 3k + 1 ou 3k + 2 avec k ∈ Z.
2. Démontrer que pour tout n ∈ N, n(5n
2 − 2) est divisible par 3. On pourra raisonner par disjonction des cas.
Sujet PDf :
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