Limite d'une fonction

[Hakim]

Bonjour,

Je n'arrive pas à résoudre la limite de cette fonction, merci de m'aider à le faire.
Voici la limite:
lim (x→0)⁡〖((2-x^2)sinx-sin2x)/x^5 〗

Remarque: la méthode de l'Hôpital et la méthode des développements limités ne sont pas acceptées.

Mes remerciements anticipés.

[SoS-Math(9)]

Bonsoir Hakim,

Avec les développements limités en 0, on trouve \(-\frac{1}{12}\) ...
Je ne vois pas d'autre méthode ... mais si je trouve, je te la donnerai.

SoSMath.

[SoS-Math(33)]

Bonsoir,
as tu essayé d'utiliser \(\lim_{x \to 0}\frac{sinx}{x}=1\) ?

[sos-math(21)]

Bonjour,
cela me paraît difficile d'éviter les développements limités sachant qu'il faut aller jusqu'à l'ordre 5 du développement de \(sin(x)\) et \(sin(2x)\) pour obtenir le bon degré qui permettra de conclure.
En effet, au voisinage de 0, on a
\(sin(x)=x-\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^5}{5}+o(x^5)=x-\dfrac{x^3}{6}+\dfrac{x^5}{120}+o(x^5)\)
\(sin(2x)=x-\dfrac{(2x)^3}{3!}+\dfrac{(2x)^5}{5}+o(x^5)=x-\dfrac{8x^3}{6}+\dfrac{32x^5}{120}+o(x^5)\)
Quand on remplace tout cela dans le numérateur, on a ua voisinage de 0 :
\((2-x^2)sin(x)-sin(2x)=(2-x^2)\left(x-\dfrac{x^3}{6}+\dfrac{x^5}{120}+o(x^5)\right)-\left(x-\dfrac{8x^3}{6}+\dfrac{32x^5}{120}+o(x^5)\right)\)
En développant, et en mettant les termes de degré \(\geqslant 6\) dans le \(o(x^5)\), on a \((2-x^2)sin(x)-sin(2x)=-\dfrac{x^5}{12}+o(x^5)\), ce qui en faisant ensuite le quotient avec \(x^5\) mène bien à une limite égale à \(-\dfrac{1}{12}\), comme l'avait annoncé sos-math(9).
Bonne continuation

[Hakim]

Bonsoir Hakim,

Avec les développements limités en 0, on trouve \(-\frac{1}{12}\) ...
Je ne vois pas d'autre méthode ... mais si je trouve, je te la donnerai.

SoSMath.

Bonjour,
Moi aussi j'ai trouvé -1/12 par la méthode des développements limités, mais je cherche une autre méthode (pas celle de l’Hôpital).
Merci quand même.

[sos-math(21)]

Bonjour,
si vous trouvez une autre solution, je veux bien que vous nous l'adressiez !
Bonne continuation