fonction et derivabilite

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hugo

fonction et derivabilite

Message par hugo » jeu. 19 nov. 2020 20:58

Bonsoir, je me permets de vous écrire car je bloque sur une question... est ce possible de m'aider s'il vous plaît ?

Déterminer les fonctions f dérivables sur R telles que pour tout x appartenant à R f'(x)=f(pi-x)

merci beaucoup !
sos-math(21)
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Re: fonction et derivabilite

Message par sos-math(21) » ven. 20 nov. 2020 07:51

Bonjour,
l'égalité \(f'(x)=f(\pi-x)\) montre que \(f'\) est dérivable car elle est égale à une composée de deux fonctions dérivables : \(f=goh\) ou \(h(x)=\pi-x\) et \(g(x)=f(x)\), toutes deux dérivables.
On peut donc dériver une deuxième fois cette égalité. Par composition, on sait que \(\left(goh)\right)'=h'\times g'oh\) donc, sachant que \(h'(x)=-1\), on a \(\left(f(\pi-x)\right)'(x)=-1\times f'(\pi-x)=-f(\pi-(\pi-x))=f(\pi-\pi+x)=f(x)\).
Ainsi \(f''(x)=-f(x)\)
Cette équation différentielle linéaire du second ordre, homogène, à coefficients constants de la forme \(y''+y=0\) devrait être plus facile à résoudre. Tu devrais trouver comme solutions générales les fonctions de la forme \(f(x)=a\cos(x+\varphi)\), avec \(a,\varphi\in \mathbb{R}\)
Il te restera ensuite à trouver parmi les solutions obtenues celles qui vérifient la relation initiale. Tu obtiendras alors la forme finale, avec une condition sur les valeurs de \(\varphi\).
Bon calcul
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