Limites de fonction et étude de fonctions

[Invité]

Bonjour,
Je bloque à un exercice de mon DM...

Je joins l'énoncé.

J'ai fais l'exercice 1 mais la question 4 de l'exercice 2 me pose problème... J'ai essayé de faire la a) mais je ne suis pas sur d'avoir bien compris ce qu'il m'est demandé. Et je ne comprends pas la b). Et l'exercice 3 je ne sais pas comment faire, je sais faire en sachant f(1), mais pas avec f'(1)...

Voici ce que j'ai fais :
Exercice 1 :
a) FI de forme ∞/∞
Tableau de variation de x-2 :
x -∞ 2 +∞
x-2 - 0 +
car a = 1 > 0

lim(x tends vers 2, x>2) (2x-7) = -3 et lim(x tends vers 2, x>2) (x-2) = 0+. Par quotient, lim(x tends vers 2, x>2) (2x-7)/(x-2) = -∞ (car -3 < 0).

b) FI de forme ∞/∞
f(x) = (3e^x)/((e^x)-1) = (3e^x)/((e^x)*(1-1/(e^x))) = 3/(1-1/(e^x))

lim(x tend vers +∞) (1/(e^x)) = 0. Par somme lim(x tend vers +∞) (1-1/(e^x)) = 1. Par quotient, lim(x tends vers +∞) f(x) = 3.

c) Fi de forme +∞-∞
f(x) = e^(2x)-2(e^x) = (e^(2x))*(1-(2e^x)/(e^(2x))) = (e^(2x))*(1-2/(e^x))

lim(x tend vers +∞) 2/(e^x) = 0, par somme lim(x tend vers +∞) (1-2/(e^x)) = 1. lim(x tend vers +∞) (e^x) = +∞, par produit lim(x tend vers +∞) f(x) = +∞.

Exercice 2 :
1) lim(x tend vers +∞) (x^3-2x) FI de forme +∞-∞
f(x) = x^3-2x = (x^3)*(1-2/(x^2))

lim(x tend vers +∞) (2/(x^2)) = 0, par somme lim(x tend vers +∞) (1-2/(x^2)) =1. lim(x tend vers +∞) (x^3) = +∞, par produit lim(x tend vers +∞) f(x) = +∞

lim(x tend vers -∞) (x^3-2x)
lim(x tend vers +∞) (x^3) = -∞, lim(x tend vers +∞) (2x) = -∞. Par somme lim(x tend vers +∞) (x^3-2x) = -∞.

2) On chercher la dérivée de la fonction
u(x) = x^3 u'(x) = 3x^2
v(x) = 2x v'(x) = 2
f'(x) = u' - v' = (3x^2)-2
On cherche le signe :
Δ = (b^2)-4*a*c = (0^2)-4*3*(-2) = 24 => 2 racines
x1 = (-b-√Δ)/(2a) ≃ -0,8
x2 = (-b+√Δ)/(2a) ≃ 0,8
Tableau :
f(0,8) = (0,8)^3-2(0,8) ≃ -1,1
f(-0,8) = (-0,8)^3-2(-0,8) ≃ -1,1
x -∞ -0,8 0,8 +∞
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) ↗ 1,1 ↘ -1,1 ↗

3) T : y = f'(1)(x-1)+f(1)
f'(1) = 3*(1)^2-2 = 1
f(1) = 3*(1)^3-2*1 = 1
y =1(x-1)+1 = x-1+1 = x
Donc y = x.

4) a) (Là où je ne suis pas sur d'avoir compris la consigne)
x^3-3x+2 = (x-1)(x^2+x-2)
x^3-3x+2 = x^3+x^2-2x-x^2-x+2
x^3-3x+2 = x^3-3x+2

b) ??????


Exercice 3 :

????


Merci pour votre aide...

[sos-math(21)]

Bonjour,
je ne regarde pas tout ce que tu as fait et je me concentre sur le 2. 4 :
il y a une erreur de calcul pour ta tangente : \(f(1)=1^3-2\times 1=-1\), tu as pris l'expression de \(f'(x)\) pour calculer \(f(1)\).
On te demande d'étudier la position relative de \(T\) et de \(\mathcal{C}_f\) : cela signifie dire sur quel(s) intervalle(s) la courbe est au-dessus de la tangente et sur quel(s) intervalle(s) elle est en dessous.
D'un point de vue mathématique, cela signifie "comparer les images des points de ces deux fonctions", c'est à dire étudier le signe de leur différence.
Or si on effectue cette différence, on obtient une fonction \(g(x)=f(x)-(x-2)=x^3-2x-x+2=x^3-3x+2=\underbrace{(x-1)(x^2+x-2)}_{\text{d'après la question a}}\)
Donc il te reste à étudier le signe de cette expression dans un tableau de signe et tu en déduiras la position relative de \(T\) et de \(\mathcal{C}_f\).
Pour l'exercice 3, le fait que la droite d'équation \(y=4\) soit asymptote horizontale en \(+\infty\) signifie que \(\displaystyle \lim_{x\to +\infty}f(x)=4\).
Or la limite d'un quotient de deux fonctions polynômes est égal à la limite du quotient des termes de plus haut degré :
\(\displaystyle \lim_{x\to +\infty}f(x)\lim_{x\to +\infty} \dfrac{ax\left(1+\frac{b}{ax}\right)}{x\left(1-\frac{3}{x}\right)}=\lim_{x\to+\infty}\frac{ax}{x}=a\).
Tu trouves la valeur de \(a\). Pour trouver la valeur de \(b\), il faut calculer la dérivée et utiliser \(f'(1)=-\dfrac{1}{2}\)
Bonne continuation

[Invité]

Bonjour, merci beaucoup pour votre aide, j'ai pu avancé sans soucis !

Bonne journée.

[sos-math(21)]

Bonjour,
tant mieux... Normalement, tu dois trouver \(f(x)=\dfrac{4x-10}{x-3}\).

Téléchargez la figure ici.

Bonne conclusion

[Invité]

Bonjour,
Oui c'est ce que j'ai trouvé, merci.

[sos-math(21)]

Bonne continuation et à bientôt sur sos-math.