Vecteur directeur exo 5)

[MrX]

Bonsoir pour l’exo 5) j’ai une réponse différente que celle du corrigé et j’aimerais savoir si c’est bon.
Merci de votre aide.

[sos-math(21)]

Bonjour,
si tu considère un point \(P(a,b,c)\) d'une droite de vecteur directeur \(\overrightarrow{v}\begin{pmatrix}\alpha\\\beta\\\gamma\end{pmatrix}\).
Alors un point \(M(x,y,z)\) appartient à cette droite si et seulement si le vecteur \(\overrightarrow{PM}\begin{pmatrix}x-a\\y-b\\z-c\end{pmatrix}\) est colinéaire à \(\overrightarrow{v}\).
Ce qui signifie que les coordonnées de \(\overrightarrow{PM}\) sont proportionnelles à celles de \(\overrightarrow{v}\) : \(\overrightarrow{PM}=k \overrightarrow{v}\). Autrement dit, en faisant le rapport des coordonnées :
\(\dfrac{x-a}{\alpha}=\dfrac{y-b}{\beta}=\dfrac{z-c}{\gamma}=k\)
Donc si tu cherches à identifier cela avec ta formule, il ne faut pas avoir de coefficient au numérateur. Or dans tes calculs tu as fait remonter des coefficients devant \(x+\dfrac{4}{3}\) et devant \(z-\dfrac{5}{9}\), ce qui fausse l'identification.
D'où ton erreur, qu'il faut reprendre afin de bien respecter la structure permettant l'identification.
Bonne continutuation

[MrX]

D’accord merci.
Pour le 5) b)
Voici ma démarche.
Ensuite pour compléter afin de répondre a la question je rencontre des difficultés. Merci de votre aide.

[MrX]

En travaillant un peu plus j’ai trouver les valeurs de x ,y et z. Mais pour aller plus loin afin de répondre à la question je suis bloqué.J’arrive à une réponse fausse.Merci de votre aide.
Voici ma démarche et la réponse du corrigé.

[SoS-Math(33)]

Bonjour,
si tu décides d'exprimer x en fonction de z dans ton système, tu ne peux pas en même temps exprimer z en fonction de x .
Tu as donc deux possibilités :
1) exprimer x en fonction de z
\(x=\frac{2z+33}{5} \)d'où le système:
\(\left\{\begin{matrix}x=\frac{2\alpha+33}{5}\\ y=8 \\ z=\alpha \end{matrix}\right. \)
en prenant deux valeurs pour \(\alpha\) tu obtiens deux points et ainsi tu peux obtenir un vecteur.

2) exprimer z en fonction de x
\(z= \frac{5x-33}{2} \)d'où le système:
\(\left\{\begin{matrix}x=\alpha\\ y=8 \\ z=\frac{5x-33}{2} \end{matrix}\right. \)
en prenant deux valeurs pour \(\alpha\) tu obtiens deux points et ainsi tu peux obtenir un vecteur.
Est ce plus clair pour toi?
SoS-math

[MrX]

Bonjour ,
J’ai pris 1 et 2 comme valeur de s(z)
J’arrive encore à une réponse fausse.
Merci de votre aide.

[sos-math(21)]

Bonjour,
comme l'as dit mon collègue, il faut que tu choisisses deux points distincts \(P\) et \(Q\), qui appartiennent à la droite et le vecteur \(\overrightarrow{PQ}\) sera un vecteur directeur de cette droite.
Qu'as-tu choisi comme valeurs ? je ne vois qu'un choix de valeurs....
Je te suggère de choisir \(x=1\) qui te donne : \(5\times 1-2z-33=0\) donc \(z=-28\div 2=-14\) donc \(P(1,8,-14)\).
Puis une autre valeur, par exemple \(z=11\), ce qui simplifie les calculs et \(x=....\)
Bonne conclusion

[MrX]

Ah d’accord merci je comprends mieux et si j’ai un point différent de Q que le corrigé et également une valeur de vecteur u différente que le corrigé est ce que ma réponse est quand même bonne?
Merci de votre aide.

[SoS-Math(33)]

Oui, tu peux avoir un point Q différent de celui du corrigé. (Il y a une infinité de point sur la droite)
Pour le vecteur, tu peux en avoir un de différent mais les coordonnées des deux vecteurs doivent être proportionnelles.
Ce que tu as trouvé est juste puisque (10 ; 0 ; 25) = 5x(2 ; 0 ; 5) les deux vecteurs sont colinéaires.