Exo III

[Clémence]

et voici le dernier exo : https://www.cjoint.com/data/JKiboTSDx3f_exo-iii.png

Pourriez vous me montrer un exemple de rédaction détaillée pour la question 1 ?

j'adapterais ensuite pour la 2.

Merci, j'espere vraiment que vous aurez un peu de temps pour m'aider, bon dimanche confiné...

[sos-math(21)]

Bonjour,
tu travailles par double inclusion, sachant que l'inclusion \(A\cap B\subset A\) est toujours vraie :
Si \(A\subset B\) alors :

• \(A\cap B\subset A\) : toujours vraie
• \(A\subset A\cap B\) : si \(x\in A\), alors comme \(A\subset B\), on a aussi \(x\in B\) donc finalement \(x\) est dans les deux ensembles donc dans leur intersection donc \(x\in A\cap B\)

donc on a bien montré que si \(A\subset B\) , alors \(A=A\cap B\).
À toi de montrer la réciproque
Bonne continuation

[Invité]

Merci mais le problème c'est que la réciproque me paraît évidente donc j'arrive pas à la démontrer...

Quelles sont les étapes pour le faire ?

Et ces 3 exos sont très urgentes car je dois les rendre demain..

[sos-math(21)]

Pour la réciproque de la 1:
\(A\cap B=A\Longrightarrow A\subset B\)
On suppose \(A\cap B= A\) et Il faut montrer \(A\subset B\).
On choisit donc \(x\in A\) comme \(A\cap B= A\), \(x\in A\cap B\) donc, en particulier, \(x \in B\) ainsi \(x\in B\) donc on vient de montrer \(A\subset B\).
L'implication réciproque est démontrée.

[Invité]

Merci effectivement il y a quand-même des étapes.

Pour la question 2 c'est exactement pareil ou il faut procéder autrement ? Parce que j'y arrive pas avec la méthode de la 1.

[sos-math(21)]

Bonjour,
c'est la même méthode, c'est peut-être un peu plus compliqué avec une union.
Je te laisse faire

[Invité]

Désolée mais je cherche depuis longtemps et je n'y arrive pas...

Est-ce que vous pourriez juste me donner le début du raisonnement. ?

[sos-math(21)]

Je ne vais pas tout te faire : il faut que tu reprennes la démarche initiée pour la question précédente.
Tu as déjà quoiqu'il arrive \(B \subset A\cup B\), il faut donc que tu montres \(A\cup B\subset B \) et tu auras montré la double inclusion.

[Invité]

En fait ce que je n'arrive pas à trouver c'est l'hypothèse de départ...

Quelle est-elle ?

Si vous pouviez me donner juste ça ce serait génial car je suis très en retard sur mon travail...

[SoS-Math(9)]

Bonjour Clémence,

Pour démontrer une une inclusion telle que \(C \subset D\), il faut montrer que pour l'élément \(x \in C\), alors \(x \in D\).
Donc ton hypothèse de départ dans l'exercice c'est \(x \in A\cup B\) et il faut montrer que \(x \in B\).

Ensuite pour la 2ème inclusion, ton hypothèse de départ sera \(x \in B\) et il faudra montrer que \(x \in A\cup B\).

SoSMath.