Bonjour
je suis en prépa mais j'ai un DM avec bcp de questions de niveau terminale dedans.
en dessous, c'est le premier exo du DM, l'exo A.
j'ai vu que d'autres gens du forum utilisaient cjoint alors j'ai fait pareil :
https://www.cjoint.com/data/JKbbmotkgTZ_exoa.pdf
l'énoncé de l'exo A est dedans ainsi que mes propositions de réponses et mes questions/interrogations
pourriez-vous y répondre svp ? c est vraiment urgent je dois rendre ça lundi 02/11/2020 matin, je m'y prend tard car j'ai eu des soucis de santé imprévus pendant les vacances...
désolée et en espérant avoir un peu d'aide, Clémence
Exo A
-
SoS-Math(9)
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Re: Exo A
Bonjour Clémence,
Je ne comprends pas trop ce que tu as fait à la question 1b. As-tu factorisé ?
Je pense qu'il faut décomposer tes sommes ...
\(\sum_{i=1}^{n+1}\sum_{j=1}^{n+1}u_{i,j}=\sum_{i=1}^{n+1}(u_{i,n+1}+\sum_{j=1}^{n}u_{i,j}) = \sum_{i=1}^{n+1}u_{i,n+1}+\sum_{i=1}^{n+1}\sum_{j=1}^{n}u_{i,j} \)
tu peux alors inverser l'ordre des sommes (car elles sont finies) d'où :
\(\sum_{i=1}^{n+1}\sum_{j=1}^{n+1}u_{i,j} = \sum_{i=1}^{n+1}u_{i,n+1}+\sum_{j=1}^{n}\sum_{i=1}^{n+1}u_{i,j} \).
Il te reste à faire le même travail que ci-dessus pour obtenir
\(\sum_{i=1}^{n+1}\sum_{j=1}^{n+1}u_{i,j} = \sum_{i=1}^{n+1}u_{i,n+1} + \sum_{j=1}^{n}u_{n+1,j} +\sum_{j=1}^{n}\sum_{i=1}^{n}u_{i,j} \).
Avec cela tu dois pouvoir conclure.
Pour la question 2a, il faut utiliser la relation de la question 1b.
Pour la question 2b, je ne comprends pas d'où vient le \(i^2\) .... en effet max(i,j) = i ou j.
Ici je pense qu'il faut faire une récurrence.
Voila pour le début,
SoSMath.
Je ne comprends pas trop ce que tu as fait à la question 1b. As-tu factorisé ?
Je pense qu'il faut décomposer tes sommes ...
\(\sum_{i=1}^{n+1}\sum_{j=1}^{n+1}u_{i,j}=\sum_{i=1}^{n+1}(u_{i,n+1}+\sum_{j=1}^{n}u_{i,j}) = \sum_{i=1}^{n+1}u_{i,n+1}+\sum_{i=1}^{n+1}\sum_{j=1}^{n}u_{i,j} \)
tu peux alors inverser l'ordre des sommes (car elles sont finies) d'où :
\(\sum_{i=1}^{n+1}\sum_{j=1}^{n+1}u_{i,j} = \sum_{i=1}^{n+1}u_{i,n+1}+\sum_{j=1}^{n}\sum_{i=1}^{n+1}u_{i,j} \).
Il te reste à faire le même travail que ci-dessus pour obtenir
\(\sum_{i=1}^{n+1}\sum_{j=1}^{n+1}u_{i,j} = \sum_{i=1}^{n+1}u_{i,n+1} + \sum_{j=1}^{n}u_{n+1,j} +\sum_{j=1}^{n}\sum_{i=1}^{n}u_{i,j} \).
Avec cela tu dois pouvoir conclure.
Pour la question 2a, il faut utiliser la relation de la question 1b.
Pour la question 2b, je ne comprends pas d'où vient le \(i^2\) .... en effet max(i,j) = i ou j.
Ici je pense qu'il faut faire une récurrence.
Voila pour le début,
SoSMath.
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Invité
Re: Exo A
Merci beaucoup de la réponse. Je me dépêche car le forum ferme bientôt et j'ai encore beaucoup de questions....
Pour la 1.b, je n'arrive pas à "faire le même travail que ci-dessus". Pourriez vous m'expliquer svp ?
Pour la 2.a je comprends pas du tout le lien entre la question 1.b et la 2.a...
Pour la 2.b en gros il faut pas faire de calculs avec une suite de égal, mais plutôt une récurrence c'est bien ça ?
Merci et bon dimanche
Pour la 1.b, je n'arrive pas à "faire le même travail que ci-dessus". Pourriez vous m'expliquer svp ?
Pour la 2.a je comprends pas du tout le lien entre la question 1.b et la 2.a...
Pour la 2.b en gros il faut pas faire de calculs avec une suite de égal, mais plutôt une récurrence c'est bien ça ?
Merci et bon dimanche
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SoS-Math(9)
- Messages : 6338
- Enregistré le : mer. 5 sept. 2007 12:10
Re: Exo A
Clémence,
Pour la 1b :
On a trouvé \(\sum_{i=1}^{n+1}\sum_{j=1}^{n+1}u_{i,j} = \sum_{i=1}^{n+1}u_{i,n+1}+\sum_{j=1}^{n}\sum_{i=1}^{n+1}u_{i,j} \)
donc \(\sum_{i=1}^{n+1}\sum_{j=1}^{n+1}u_{i,j} = \sum_{i=1}^{n+1}u_{i,n+1}+\sum_{j=1}^{n}(u_{n+1,j} + \sum_{i=1}^{n}u_{i,j}) = \sum_{i=1}^{n+1}u_{i,n+1}+\sum_{j=1}^{n}u_{n+1,j} + \sum_{j=1}^{n}\sum_{i=1}^{n}u_{i,j} = \)
\((\sum_{i=1}^{n}u_{i,n+1} + u_{n+1,n+1})+\sum_{j=1}^{n}u_{n+1,j} + \sum_{j=1}^{n}\sum_{i=1}^{n}u_{i,j} \)
D'où le résultat : \(\sum_{i=1}^{n+1}\sum_{j=1}^{n+1}u_{i,j} - \sum_{j=1}^{n}\sum_{i=1}^{n}u_{i,j} = \sum_{i=1}^{n}u_{i,n+1} + u_{n+1,n+1}+\sum_{j=1}^{n}u_{n+1,j} \).
2a : \(S_{n+1}-S_n = \sum_{i=1}^{n+1}\sum_{j=1}^{n+1}u_{i,j} - \sum_{j=1}^{n}\sum_{i=1}^{n}u_{i,j} \)
avec \(u_{i,j} = max(i,j)\)
2b : oui il faut faire une récurrence.
SoSMath.
Pour la 1b :
On a trouvé \(\sum_{i=1}^{n+1}\sum_{j=1}^{n+1}u_{i,j} = \sum_{i=1}^{n+1}u_{i,n+1}+\sum_{j=1}^{n}\sum_{i=1}^{n+1}u_{i,j} \)
donc \(\sum_{i=1}^{n+1}\sum_{j=1}^{n+1}u_{i,j} = \sum_{i=1}^{n+1}u_{i,n+1}+\sum_{j=1}^{n}(u_{n+1,j} + \sum_{i=1}^{n}u_{i,j}) = \sum_{i=1}^{n+1}u_{i,n+1}+\sum_{j=1}^{n}u_{n+1,j} + \sum_{j=1}^{n}\sum_{i=1}^{n}u_{i,j} = \)
\((\sum_{i=1}^{n}u_{i,n+1} + u_{n+1,n+1})+\sum_{j=1}^{n}u_{n+1,j} + \sum_{j=1}^{n}\sum_{i=1}^{n}u_{i,j} \)
D'où le résultat : \(\sum_{i=1}^{n+1}\sum_{j=1}^{n+1}u_{i,j} - \sum_{j=1}^{n}\sum_{i=1}^{n}u_{i,j} = \sum_{i=1}^{n}u_{i,n+1} + u_{n+1,n+1}+\sum_{j=1}^{n}u_{n+1,j} \).
2a : \(S_{n+1}-S_n = \sum_{i=1}^{n+1}\sum_{j=1}^{n+1}u_{i,j} - \sum_{j=1}^{n}\sum_{i=1}^{n}u_{i,j} \)
avec \(u_{i,j} = max(i,j)\)
2b : oui il faut faire une récurrence.
SoSMath.
-
Invité
Re: Exo A
Merci beaucoup.
Pour la 2b je suis bloquée à l'hérédité... Pourriez-vous me l'expliquer svp ?
Pour la 3.a j'hésite beaucoup : faut-il faire encore une récurrence ?
Le forum ferme dans moins de 20 minutes. Avez-vous la possibilité de me répondre après 14h ? En modifiant mon message par exemple? En cherchant dans le forum j'ai vu que c'était ce qui se faisait parfois
---------------------
Clémence,
je réponds dans ton message !
2b : pour l'hérédité, on suppose qu'il existe un entier n > 0 tel que la propriété P(n) : \(S_n = \frac{n(n+1)(4n-1)}{6}\) est vraie.
Et l'objectif est de démontrer que P(n+1) est vraie, c'est-à-dire que \(S_{n+1} = \frac{(n+1)((n+1)+1)(4(n+1)-1)}{6} =\frac{(n+1)(n+2)(4n+3)}{6} \)
Or tu sais que \(S_{n+1} -S_{n} = (n+1)(2n+1) \) donc \(S_{n+1} = (n+1)(2n+1) + S_{n} \)
mais d'après ton hypothèse de récurrence \(S_n = \frac{n(n+1)(4n-1)}{6}\) , donc \(S_{n+1} = (n+1)(2n+1) + \frac{n(n+1)(4n-1)}{6} \)
il ne te reste plus qu'à démontrer que \((n+1)(2n+1) + \frac{n(n+1)(4n-1)}{6} = \frac{(n+1)(n+2)(4n+3)}{6}\)
SoSMath.
Pour la 2b je suis bloquée à l'hérédité... Pourriez-vous me l'expliquer svp ?
Pour la 3.a j'hésite beaucoup : faut-il faire encore une récurrence ?
Le forum ferme dans moins de 20 minutes. Avez-vous la possibilité de me répondre après 14h ? En modifiant mon message par exemple? En cherchant dans le forum j'ai vu que c'était ce qui se faisait parfois
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Clémence,
je réponds dans ton message !
2b : pour l'hérédité, on suppose qu'il existe un entier n > 0 tel que la propriété P(n) : \(S_n = \frac{n(n+1)(4n-1)}{6}\) est vraie.
Et l'objectif est de démontrer que P(n+1) est vraie, c'est-à-dire que \(S_{n+1} = \frac{(n+1)((n+1)+1)(4(n+1)-1)}{6} =\frac{(n+1)(n+2)(4n+3)}{6} \)
Or tu sais que \(S_{n+1} -S_{n} = (n+1)(2n+1) \) donc \(S_{n+1} = (n+1)(2n+1) + S_{n} \)
mais d'après ton hypothèse de récurrence \(S_n = \frac{n(n+1)(4n-1)}{6}\) , donc \(S_{n+1} = (n+1)(2n+1) + \frac{n(n+1)(4n-1)}{6} \)
il ne te reste plus qu'à démontrer que \((n+1)(2n+1) + \frac{n(n+1)(4n-1)}{6} = \frac{(n+1)(n+2)(4n+3)}{6}\)
SoSMath.