suites recurrente

[julie]

Bonjour, pourriez vous m'aider.. voilà une suite Un définie par Uo=1 pour tout n appartenant a N.
et U( n+1)=3-Un/( 8-5Un).
Démontrer par récurrence 0<=U(n+1)<=Un<=1 .Pouvez vous m'aider c'est urgent merci

[SoS-Math(9)]

Bonsoir Julie,

Pour commencer tu peux étudier les variations de la fonctions \( f(x) = \frac{3-x}{8-5x}\) ... en principe tu vas montrer que f est croissante sur [0 ; 1].
Ensuite avec ton hypothèse de récurrence 0<=U(n+1)<=Un<=1 et f croissante sur [0 ; 1 ] tu auras alors f(0) <= f(u(n+1)) <= f(u(n)) <= f(1).
Et comme on a choisit f telle que u(n+1) = f(u(n)), alors on aura f(0) <= u(n+2) <= n(n+1) <= f(1)
Mais comme 0 <= f(0) = 3/8 et f(1)==2/3 <1, alors 0<= u(n+2) <= n(n+1) <= 1. don tu auras montré le rang (n+1).

Bon courage,
SoSMath.

[Invité]

On demande par récurrence

[SoS-Math(9)]

Bonsoir Julie,

j'ai bien compris ...
* Pour le 1er rang, je te laisse vérifier que 0 <= u1 <= u0 <= 1.
* hérédité : ton hypothèse de récurrence est 0<=U(n+1)<=Un<=1.
Après avoir montré que f est croissante sur [0 ; 1], tu as alors f(0) <= f(u(n+1)) <= f(u(n)) <= f(1) qui donne f(0) <= f(u(n+1)) <= f(u(n)) <= f(1)
et comme 0 <= f(0) = 3/8 et f(1)==2/3 <1, alors 0<= u(n+2) <= n(n+1) <= 1. Donc tu as montré le rang (n+1). Ce qui prouve l'hérédité.
* reste à faire la conclusion.

SoSMath.

[Invité]

Bonsoir Julie,

j'ai bien compris ...
* Pour le 1er rang, je te laisse vérifier que 0 <= u1 <= u0 <= 1.
* hérédité : ton hypothèse de récurrence est 0<=U(n+1)<=Un<=1.
Après avoir montré que f est croissante sur [0 ; 1], tu as alors f(0) <= f(u(n+1)) <= f(u(n)) <= f(1) qui donne f(0) <= f(u(n+1)) <= f(u(n)) <= f(1)
et comme 0 <= f(0) = 3/8 et f(1)==2/3 <1, alors 0<= u(n+2) <= n(n+1) <= 1. Donc tu as montré le rang (n+1). Ce qui prouve l'hérédité.
* reste à faire la conclusion.

SoSMath.

Bonjour pour 0<=u(n)<=1 ok
Mais u(n+1)<=u(n) vraie par hypothèse
Donc f(u(n+1))<=f(u(n)) donc u(n+2)<=u(n+1)
je voit pas comment c'est possible j'ai rien démontré

Merci

[sos-math(21)]

Bonjour,
si tu as démontré la croissance de \(f\) sur \([0\,;\,1]\), alors tu as fait le plus difficile.
En effet, une fonction croissante est une fonction qui "respecte l'ordre" c'est à dire que les images sont dans le même ordre que les nombres de départ. D'un point de vue plus formel si tu prends deux réels \(a\) et \(b\) de l'intervalle \([0\,;\,1]\), tels que \(a<b\), alors si \(f\) est croissante sur \([0\,;\,1]\), on a \(f(a)\leqslant f(b)\) : c'est exactement ce que te propose mon collègue pour montrer l'hérédité.
Bonne continuation

[Invité]

Bonjour,
si tu as démontré la croissance de \(f\) sur \([0\,;\,1]\), alors tu as fait le plus difficile.
En effet, une fonction croissante est une fonction qui "respecte l'ordre" c'est à dire que les images sont dans le même ordre que les nombres de départ. D'un point de vue plus formel si tu prends deux réels \(a\) et \(b\) de l'intervalle \([0\,;\,1]\), tels que \(a<b\), alors si \(f\) est croissante sur \([0\,;\,1]\), on a \(f(a)\leqslant f(b)\) : c'est exactement ce que te propose mon collègue pour montrer l'hérédité.
Bonne continuation

Merci pour votre réponse
Si u0=5 alors u1=f(u0)=2/7
Donc
Au rang 1 u1<= u0
Supposons u(n+1)<=u(n)
Hérédité f est croissante donc f(u(n+1))<=f(u(n))
donc u(n+2)<=u(n+1)
Estce que c'est correct

-----------

bonjour,
je réponds dans ton message car le forum est fermé.
Oui c'est correct !

Bon courage,
SoSMath.

[Invité]

Bonjour,
si tu as démontré la croissance de \(f\) sur \([0\,;\,1]\), alors tu as fait le plus difficile.
En effet, une fonction croissante est une fonction qui "respecte l'ordre" c'est à dire que les images sont dans le même ordre que les nombres de départ. D'un point de vue plus formel si tu prends deux réels \(a\) et \(b\) de l'intervalle \([0\,;\,1]\), tels que \(a<b\), alors si \(f\) est croissante sur \([0\,;\,1]\), on a \(f(a)\leqslant f(b)\) : c'est exactement ce que te propose mon collègue pour montrer l'hérédité.
Bonne continuation

Merci pour votre réponse
Si u0=5 alors u1=f(u0)=2/7
Donc
Au rang 1 u1<= u0
Supposons u(n+1)<=u(n)
Hérédité f est croissante donc f(u(n+1))<=f(u(n))
donc u(n+2)<=u(n+1)
Estce que c'est correct

-----------

bonjour,
je réponds dans ton message car le forum est fermé.
Oui c'est correct !

Bon courage,
SoSMath.

bonjour pour u0=5
on a bien u1=f(u0)=2/7
donc u1<u0
je suppose que u(n+1)<u(n) soit vrai
hérédité: je fait f(u(n+1))<f(u(n) puisque f est croissante
donc u(n+2)<u(n+1)
je conclut que u(n+1)<u(n) est vrai pour tout n naturel
Mais en calculant les 5 premiers terme je trouve u2>u1 u3>u2 u4>u3
c'est complétement le contraire
je voit l'erreur
merci

[SoS-Math(34)]

Bonjour Julie,

Il me semble que d'après ton énoncé, \(u_{0}=1\) alors que tu as utilisé \(u_{0}=5\).
Ainsi : \(u_{1}=\frac{3-1}{8-5\times 1}=\frac{2}{3}\)
De la même façon, \(u_{2}=0,5\)...
Ainsi, L'observation des premiers termes montre qu'il n'y a pas d'incohérence avec ce que tu as démontré, la suite est bien décroissante.

Bonne continuation,
Sosmaths

[Invité]

Bonjour Julie,

Il me semble que d'après ton énoncé, \(u_{0}=1\) alors que tu as utilisé \(u_{0}=5\).
Ainsi : \(u_{1}=\frac{3-1}{8-5\times 1}=\frac{2}{3}\)
De la même façon, \(u_{2}=0,5\)...
Ainsi, L'observation des premiers termes montre qu'il n'y a pas d'incohérence avec ce que tu as démontré, la suite est bien décroissante.

Bonne continuation,
Sosmaths

Bonjour oui, mais si u0=5 on doit arriver à la même conclusion
U0=5 , u1=f(u0)=2/7
Donc u1<=u0 vrai
Hypothèse u(n+1)<=u(n) vrai
Hérédité f croissante donc f(u(n+1))<=f(u(n))
Donc u(n+2)<=u(n+1)
Conclusion u(n+1)<=u(n) pour tout.n
Mais le calcul de u1 u2 u3 .... montre le contraire
Pourtant j'ai suivit les conseil de vos collègues à moins que je me trompe quel que part ?

Merci de votre réponse

[SoS-Math(9)]

Julie,

ce sont tes calculs qui sont faux ... u1 = (3-1)/(8-5*1) = 2/3 (environ 0,67)
puis u2 = (3-2/3)/(8-5*2/3) = 1/2 = 0,5

On a donc bien u0=1 > u1=2/3 > u2=1/2

SoSMath.

[Invité]

Julie,

ce sont tes calculs qui sont faux ... u1 = (3-1)/(8-5*1) = 2/3 (environ 0,67)
puis u2 = (3-2/3)/(8-5*2/3) = 1/2 = 0,5

On a donc bien u0=1 > u1=2/3 > u2=1/2

SoSMath.

Ici on prend u0=5 et non1
Avec u0= 1 c'est fait
Ici u0=5 si on utilise la même démarche ça coince
Puisque u1=2/7 pour u0=5
U1<=u0 vrai
Supposons un+1<=un vrai
Hérédité : croissante alors f(u(n+1))<=f(u(n))
Donc u(n+2)<=u(n+1)
Maus le calcul.de u1 u2 u3... montre que c'est le contraire
Ici u0=5
Merci

[SoS-Math(9)]

Julie,

Le fait de changer le terme u0, change les autres termes de la suite et donc cela peut changer les variations de la suites.
.De plus si tu prends u0 = 5, alors u0\(\notin\)[0 ; 1], or on sait que f est croissante sur [0 ; 1] mais on ne sait pas sur un intervalle qui contient 5 ... pour savoir il faut faire l'étude complète sur son ensemble de définition.

SoSMath.

[Invité]

Julie,

Le fait de changer le terme u0, change les autres termes de la suite et donc cela peut changer les variations de la suites.
.De plus si tu prends u0 = 5, alors u0\(\notin\)[0 ; 1], or on sait que f est croissante sur [0 ; 1] mais on ne sait pas sur un intervalle qui contient 5 ... pour savoir il faut faire l'étude complète sur son ensemble de définition.

SoSMath.

Ma question :pourquoi :
Uo=1 . Uo=5
U1<u0 vrai . . .......idem
Hyp un+1<=un vrai ... idem
f croissante donc . .idem

Un+2<=un+1 ca marche ça marche pas.?
Pourtant j'ai utilisé même conseil le votre.

[SoS-Math(33)]

Bonsoir Julie,
tu ne peux pas te faire une idée pour ta récurrence sur le calcul que des deux premiers termes, il faut en calculer plusieurs.
Ici si tu parts avec U0=5 tu vas avoir U1<U0 mais ensuite U2>U1 puis U3>U2 donc pour ton initialisation il faut partir de U1 et non U0 ainsi tu montreras le résultat sur N*
Comprends tu?
SoS-math