Division euclidienne

[Lisa]

Bonjour à tous,

Voici l'énoncé sur la division euclidienne sur lequel je bloque depuis pas mal de temps...:

Pour n appartenant à N sauf 0, on considère le produit P(n)=(n+1)(n+2)(n+3)...(2n).
Démontrer que pour tout entier naturel n>1, P(n) est divisible par 2^n.

Voici ce que j'ai fait pour l'instant:

Raisonnons par récurrence:
Initialisation --> Montrons que cette propriété est vraie au rang n=1.
Pour n=1, P(n)=2. En effet, le premier facteur (1+1)=2 et le dernier facteur (2*1)=2 aussi. Ce même facteur est bien divisible par 2^1=2, donc la proposition est vraie au rang 0.

Hérédité --> Supposons qu'il existe un entier n>1 tel que 2^n/P(n). Montrons que P(n+1) est vraie, c'est-à-dire que 2^n+1/P(n+1).
On sait que P(n)=2^n*k
P(n+1)= 2^(n+1)*k'
Alors à partir de là je bloque... J'aimerais calculer P(n+1)/P(n) pour ensuite exprimer P(n+1) en fonction de P(n). P(n+1)=P(n)*...
Mais je n'en suis pas sûre :?

Merci d'avance pour votre aide :D

[sos-math(21)]

Bonjour,
pour l'hérédité, il faut que tu raisonnes sur l'évolution de ton produit : comment s'exprime \(P(n+1)\) en fonction de \(P(n)\) ?
Si \(P(n)=(n+1)(n+2)....(2n)\) alors \(P(n+1)=(n+1+1)(n+1+2).....(2(n+1))=(n+2)(n+3)...(2n)(2n+1)(2n+2)\) donc en factorisant le dernier facteur on a \(P(n+1)=(n+2)(n+3)...(2n)(2n+1)\times 2(n+1)\) soit en remettant le facteur \(n+1\) devant on a \(P(n+1)=(n+1)(n+2)....(2n)(2n+1)\times 2\).
Que retrouve-t-on dans cette écriture ?
Je te laisse faire le lien entre \(P(n)\) et \(P(n+1)\) puis tu pourras montrer l'hérédité.
Bonne continuation

[Lisa]

Merci pour votre réponse :)
En fait j'ai fait P(n+1)/P(n) = 2(n+1)/(n+1) (en simplifiant toute la fraction)
Donc P(n+1)=P(n)*(2n+2)/(n+1)

Je ne vois pas comment on peut passer de ça à ce que je veux montrer à la fin: P(n+1)=2^(n+1)*k'
Surtout que le n est en puissance...

[SoS-Math(9)]

Bonjour Lisa,

tu as presque terminé ta récurrence ...
tu as montré que P(n+1) = 2*(2n+1)*P(n)
Mais par hypothèse de récurrence P(n) = k * 2^n.
Donc P(n+1) = 2*(2n+1) * k * 2^n = (2n+1)*k* 2^(n+1) = k' * 2^(n+1)

SoSMath.

[sos-math(21)]

Bonjour,
ta simplification est fausse. tu devrais avoir les facteurs \(2(2n+1)\).
Reprends cela et la récurrence va être plus facile car le facteur 2 apparaît entre \(P(n)\) et \(P(n+1)\), ce qui signifie que si \(P(n)\) est divisible par \(2^n\), alors \(P(n+1)\) est divisible par \(2^{n+1}\).
En effet s'il existe \(k\in\mathbb{N}\) \(P(n)=2^n\times k\), alors \(P(n+1)=2(2n+1)P(n)=(2n+1)k\times 2\times 2^n=(2n+1)k\times 2^{n+1}\)
Bonne continuation

[Lisa]

J'ai compris merci beaucoup !

[SoS-Math(9)]

A bientôt Lisa,
SoSMath.