Diagonales d'un polygone

[Paul]

Bonjour,
J'ai un exercice à faire pour la rentrée mais je suis en difficulté. Le voici :

Pour un polygone convexe, on souhaite compter le nombre de diagonales, c'est à dire le nombre de segments joignant deux sommets non consécutifs de ce polygone.
1) Déterminer le nombre de diagonales d'un triangle, d'un quadrilatère et d'un pentagone convexe (Je trouve : 0, 2 et 5)
2) Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 3. On considère la proposition Pn suivante "Un polygone convexe à n côtés possède n(n-3)/2 diagonales".
Que peut on vérifier d'après la question 1 ?
Ici je vérifie la formule avec le triangle le carré et le pentagone. Ca fonctionne, j'ai aussi 0,2 et 5.

3) On suppose qu'il existe un entier naturel k>3 pour lequel Pk est vraie. On considère P un polygone convexe à k+1 sommets et on note A l'un de ses sommets.
a)Combien de diagonales comporte le polygone P' composé des k+1 sommets sauf A (donc P' possède k sommets) ?
Ici je constate qu'il en possède autant que si il avait k sommet + 1 car les deux points qui étaient consécutif à A peuvent être relié par une diagonale (ce qui n'aurait pas été possible sil y n'y avait que k sommet car ils auraient été consécutif), le polygone P' comporte (k(k-3)/2 )+1 diagonales.
b) Combien y a y-il de diagonales de P partant du point A ? A ne peut pas se rejoindre lui même si les 2 sommets qui lui sont consécutifs donc le nombre de sommet de P moins trois soit (k+1)-3 donc k-2.
c) En remarquant qu'un des côtés de P' est une diagonale de P, montrer que Pk+1 est vraie et conclure.
J'ai vraiment du mal sur cette dernière question, j'ai du me tromper plus tôt dans l'exercice mais je ne sais pas vraiment où donc j'aurais besoin d'un coup de main.
Merci d'avance pour votre aide

[SoS-Math(9)]

Bonjour Paul,

Attention à ne pas créer un nouveau sujet dans un ancien sujet ...
Si tu changes d'exercice, il faut changer de message.

Pour la question 3a, je ne comprends pas ton raisonnement ... Si P' possède k sommets (donc k côtés) alors d'après ton hypothèse il possède k(k-3)/2 diagonales.
Pour le 3b, il y a une petite erreur ... ton raisonnement est bon mais incomplet.
Oui il y a bien k-2 diagonales partant de A, mais tu as oublié que les deux sommets consécutifs à A, forment une diagonale dans ton nouveau polygone.
Donc tu as alors k-2 + 1 = k-1 nouvelles diagonales.

Pour la question 3c, il suffit de faire la somme k(k-3)/2 + k-1 ...

SoSMath.

[Paul]

Désolé, j'ai oublié de remettre un titre.
Le problème c'est que je ne comprend pas à quoi ressemble le polygone P' et comment compter ses diagonales faut-il faire comme ça ?

J'ai compris mon erreur pour la b mais je n'ai toujours pas saisi la c je ne comprend pas à quoi correspond la somme k(k-3)/2 + k-1 ...

[SoS-Math(9)]

Paul,

ton polygone à k+1 sommets on le décompose en un polygone à k sommets auquel on ajoute un sommet.
Donc le polygone à k sommet possède k(k-3)/2 diagonales (d'après la question a), on ajoute alors le sommet qui apporte en plus k-1 diagonales (d'après la question b). D'où le résultat : le polygone à k+1 sommets possède k(k-3)/2 + k-1 diagonales.

SoSMath.

[SoS-Math(9)]

Avec ton exemple, le polygone Abcde, se décompose en un polygone de sommets bcde et un sommet A.
bcde qui possède 4 sommets a alors 2 diagonales, avec le sommet supplémentaire A, on ajoute 3 (k-1) diagonales d'où le nombre de diagonales pour Abcde : 2 + 3 = 5 (ce qui correspond à ce que tu as trouvé pour 5 sommets).

SoSMath.

[Paul]

Donc pour la c), une fois qu'on a trouvé k(k-3)/2 + k-1, il suffit alors de démontrer que k(k-3)/2 + k-1=(k+1)(k+1-3)/2 ?
Si les deux sont égaux on a alors démontré que Pk+1 est vraie ?
On finit alors le développement par récurrence comme ceci (puisqu'on a fait l'initialisation précédemment) :
On a supposé que le nombre de diagonales d'un polygone convexe était égale à k(k-3)/2 ou k est son nombre de sommet.
On en a alors déduit que pour k+1, le nombre de diagonale serait de k(k-3)/2 + k-1 car il part k-1 diagonales à partir du point A du fait que A peut rejoindre tout les autres points du polygone sauf lui même et les 2 points qui lui sont consécutif. Cependant, l'ajout du point A fait qu'un côté de P' devient une diagonale. Le nombre de sommet étant de k+1, on en déduit que le nombre de diagonale se rattachant à A est de k+1+1-3=k-1.
Montrons qu'alors Pk+1, c'est à dire que (k+1)(k+1-3)/2 est vrai, donc que k(k-3)/2 + k-1=(k+1)(k+1-3)/2 est vrai.
(k+1)(k+1-3)/2=(k+1)(k+2)=k²-k-2
k(k-3)/2 + k-1= k²-k-2/2
On peut donc affirmer que k(k-3)/2 + k-1=(k+1)(k+1-3)/2 est vrai
Conclusion : la proposition que le nombre de diagonales d'un polygone convexe était égale à k(k-3)/2 est initialisé et héréditaire, elle est donc vraie

(C'est peut être un peu brouillon, mais est-ce que c'est ça dans l'idée ?)

[SoS-Math(25)]

Bonsoir Paul,

C'est cela, dans l'hérédité, on montre que la formule reste vraie pour un polygone à k+1 sommets si elle était vraie avec k côtés.

A bientôt