Exercice vecteur

[Paul]

Bonjour,
Je suis bloqué sur un exercice sur les vecteurs (niveau terminale).
Le voici :
On considère un tétraèdre ABCD et les points suivants : R défini par AR=2/3AD, S défini par BS=1/3BD et T défini par BT=1/3CB (ce sont tous des vecteurs mais je ne sais pas comment mettre une flèche au dessus).
On note I le point d'intersection des droites RS et AB.
L'espace est rapporté au repère (A;AB;AC;AD) (encore des vecteurs).
1)Déterminer les coordonnées des points R, S et T :
J'ai trouvé : R(0;0:2/3) S(1;0;1/3) et T(1;1/3;0)
2)a) Déterminer une représentation paramétrique des droites (RS) et (AB)
Ici je trouve :
Vecteur RS = (1;0;-1/3)
Donc sa représentation paramétrique est :
x=t
y=O
z=-1/3t+2/3

Vecteur AB=(1;0;0)
Donc sa représentation paramétrique est :
x=t
y=0
z=0

Jusqu'ici pas de problème seulement voilà la 2)b)
2)b) Démontrer que I a pour coordonnées (4/3;0;0)
Pour trouver ses coordonnées, je fait donc une égalité avec les deux représentations paramétriques :
t=t'
0=0
-1/3t+2/3=0 ---> t=2
Or t'=t donc t'=2
On remplace alors dans une représentation paramétrique (ici celle du vecteur AB) :
x=2
y=0
z=0
Comme vous le voyez ça ne correspond pas avec les coordonnées données dans l'énoncé (4/3;0;0) ....
Donc voilà je veux bien un petit coup de main svp

Sinon je bug un peu pour la question d'après :
3) Démontrer que les droites (TI) et (AC) sont parallèles
Mais bon ça c'est encore une autre histoire

Merci d'avance pour votre aide

[SoS-Math(9)]

Bonjour Paul,

Tes coordonnées pour S et T sont fausses.
Rappel : S a pour coordonnées (x;y;z) dans le repère \((A;\vec{AB};\vec{AC};\vec{AD})\) si \(\vec{AS}=x\vec{AB}+y\vec{AC}+z\vec{AD}\).
Voici par exemple pour le point S :
\(\vec{AS}=\vec{AB}+\vec{BS}\) (relation de Chasles)
\(=\vec{AB}+\frac{1}{3}\vec{BD}\) (d'après les données)
\(=\vec{AB}+\frac{1}{3}(\vec{BA}+\vec{AD})\) (relation de Chasles)
\(=\vec{AB}+\frac{1}{3}\vec{BA}+\frac{1}{3}\vec{AD}\)
\(=\vec{AB}-\frac{1}{3}\vec{AB}+\frac{1}{3}\vec{AD}\)
\(=\frac{2}{3}\vec{AB}+\frac{1}{3}\vec{AD}\)
Donc S a pour coordonnées \((\frac{2}{3};0;\frac{1}{3})\) dans le repère \((A;\vec{AB};\vec{AC};\vec{AD})\).
Pour T tu dois trouver (4/3 ; -1/3 ; 0).

Reprend ton exercice avec ses nouvelles coordonnées.

Bon courage,
SoSMath.

[Paul]

J'ai fait ce que vous m'avez dit de faire et j'ai trouvé le bon résultat pour T.
Je suis donc passé à la question 2a) et j'ai fait les vecteurs RS et AB et leur représentation paramétrique.
Je trouve : RS(0;0;1/3) et AB (1;0;0)
Quant à leur représentation paramétrique :
AB : x=t
y=0
z=0
et RS : x=2/3
y=0
z=1/3t
A partir des représentations paramétrique j'essaye de trouver les coordonnées du point ou RS et AB se coupent (donc I)
Je déduis les équations suivantes :
2/3=t'
0=0
1/3t=0
On trouve t'=2/3 et t=0
En remplaçant dans une représentation paramétrique (ici AB) on trouve :
I(2/3;0;0) ce qui n'est pas la réponse demandé, ou me suis-je trompé ? Je ne trouve pas d'erreurs de calculs ...

[SoS-Math(9)]

Paul,

les coordonnées de ton vecteur \(\vec{RS}\) sont fausses ... tu dois trouvé (2/3 ; 0 ; -1/3).

SoSMath.

[Invité]

Merci beaucoup, j'ai tout refait et ça fonctionne. J'ai aussi fait la 3
3) Démontrer que les droites (TI) et (AC) sont parallèles
Ici, je calcule les vecteurs TI et AC et je constate qu'ils sont colinéaires donc parallèles, ça fonctionne.
Cependant, j'ai du mal pour la dernière question.
4) Soit P le point de l'espace tel que DATP est un parallélogramme. Démontrer que les plans ADC et PIT sont parallèles
La droite TI faisant parti du plan PIT et la droite AC faisant parti de ADC, il me semble que cela suffit pour affirmer que les deux plans sont parallèles non ? Sinon que faut-il faire d'autre ?

[SoS-Math(9)]

Bonsoir Paul,

Pour la question 4, cela n'est pas suffisant d'avoir deux droites parallèles ...
Pour démontrer que deux plans sont parallèles, il faut montrer que deux droites sécantes du 1er plan sont parallèles à 2 droites du 2nd plan, ou bien démontrer que les vecteurs normaux sont colinéaires.

[Paul]

D'accord, merci.
Donc si j'ai bien compris il me faut 2 couples de droites parallèles qui appartiennent chacune à un plan pour affirmer que les 2 plans sont eux aussi parallèles.
J'ai donc déjà un premier couple avec TI et AC qui font parti du plan TIP (pour TI) et ADC (pour la deuxième)
Je prend alors le point P, qui dans l'énoncé est le point de l'espace tel que DATP est un parallélogramme. Or comme c'est un parallélogramme, DA est parallèle à TP par définition (j'ai calculé sa position mais je ne pense pas que finalement ce soit utile). DA appartient à ADC et TP à TIP.
Donc j'ai trouvé deux couples de droites parallèles et appartenant au plan, les deux plans sont parallèles.
Est-ce que ça fonctionne ?

[SoS-Math(25)]

Bonjour Paul,

Cela me semble correct.

A bientôt

[pAUL]

Merci beaucoup pour votre aide !

[SoS-Math(9)]

Bon courage pour la suite.

SoSMath.