Bonjour j’ai besoin de votre aide pour un exercice sur la démonstration par récurrence. Il nous ai demandé de montrer que U0+...+Un=2n^2+2n. Sachant que U0 = 0 et que la raison est de 4, la forme explicite est Un=4n.
J’ai déjà :
Soit Pn la proposition : U0+...+Un=2n^2+2n.
On a U0 = 2x(0)^2+2x0
Je suis bloqué ici.
Merci de bien vouloir m’aider...
Récurrence U0+...+Un = 2n^2+2n
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LeFruleux
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sos-math(21)
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Re: Récurrence U0+...+Un = 2n^2+2n
Bonjour,
pour une récurrence, il faut l'initialisation (tu l'as faite) et l'hérédité (passage du rang \(n\) au rang \(n+1\)).
On suppose donc qu'il existe \(n\in\mathbb{N}\), tel que \(u_0+u_1+\ldots+u_n=2n^2+2n\).
Si on passe au rang \(n+1\), cela revient à rajouter le terme de rang \(n+1\) à cette somme.
Celui-ci vaut \(u_{n+1}=4(n+1)=4n+4\) donc la somme des termes jusqu'au rang \(n+1\) devient :
\(u_0+u_1+\ldots+u_{n+1}=\underbrace{u_0+u_1+\ldots+u_n}_{=2n^2+2n \,\text{hyp. de récurrence}}+4n+4=2n^2+2n+4n+4\)
Ensuite je te laisse vérifier que cette expression est bien aussi égale à \(2(n+1)^2+2(n+1)\)
Tu auras alors montré l'hérédité et il te restera à conclure par récurrence.
Bonne continuation
pour une récurrence, il faut l'initialisation (tu l'as faite) et l'hérédité (passage du rang \(n\) au rang \(n+1\)).
On suppose donc qu'il existe \(n\in\mathbb{N}\), tel que \(u_0+u_1+\ldots+u_n=2n^2+2n\).
Si on passe au rang \(n+1\), cela revient à rajouter le terme de rang \(n+1\) à cette somme.
Celui-ci vaut \(u_{n+1}=4(n+1)=4n+4\) donc la somme des termes jusqu'au rang \(n+1\) devient :
\(u_0+u_1+\ldots+u_{n+1}=\underbrace{u_0+u_1+\ldots+u_n}_{=2n^2+2n \,\text{hyp. de récurrence}}+4n+4=2n^2+2n+4n+4\)
Ensuite je te laisse vérifier que cette expression est bien aussi égale à \(2(n+1)^2+2(n+1)\)
Tu auras alors montré l'hérédité et il te restera à conclure par récurrence.
Bonne continuation
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LeFruleux
Re: Récurrence U0+...+Un = 2n^2+2n
Merci beaucoup
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sos-math(21)
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Re: Récurrence U0+...+Un = 2n^2+2n
Bonne continuation et à bientôt sur sos-math