Exercice

[Inès]

Bonsoir

https://www.cjoint.com/data/JJkqJ3GfF6f_exocourt.png

Pour la 1 :
je déterminerais un vecteur normal à D, donc à vecteur OM et à vecteur ON ?
ce vecteur serait n (a b c) et on aurait donc : ax+by+cz+d=0

Mais le pb c est que déterminer n c est la question 2 non ?

merci

[SoS-Math(25)]

Bonjour Inès,

Si tu as vu la définition et les propriétés du produit vectoriel en maths,tu peux l'utiliser.

Sinon, il faut trouver un vecteur \(\vec{n}(x, y , z)\) dont le produit scalaire avec \(\vec{OM}\) et \(\vec{ON}\) soit nul.

Cela donne un système de 2 équations à trois inconnues en utilisant le produit scalaire sur les coordonnées de vecteurs.

Bon courage

[Invité]

Comment on pourrait utiliser le produit vectoriel ici ?

Car oui je l'ai vu.

[sos-math(21)]

Bonjour,
le produit vectoriel de deux vecteurs est un vecteur normal à ces deux vecteurs.
Donc \(\overrightarrow{OM}\wedge\overrightarrow{ON}\) sera un vecteur normal à D.
Bonne continuation

[Invité]

Ah oui OK !

donc pour la 1 il y a 2 méthodes possibles ?
quelle est la méthode a privilégioer ,=?

[sos-math(21)]

Je ne pense pas qu'il y ait une bonne méthode et des mauvaises méthodes.
L'important est que tu maitrises une technique et que tu sois capable de la reproduire en évaluation
Dans ce cas présent, je ne sais pas laquelle serait la plus adaptée, il faudrait voir la longueur et la difficulté des calculs.
Bonne continuation

[Invité]

ok merci bcp

Qu'est ce que je progresse grace à vous ! Les profs de lycée me manque, depuis que j'ai quitter le lycée, je n'ai plus de prof réellement investis pour ces élèves, là ils font le strict minimum. en plus je suis pas dans une école d'ingé qui me convient... :(

Pour la question 3 avez vous une idée ? Je déteste les sphères....

[sos-math(21)]

Si ta sphère est tangente au plan D en O, alors son centre appartient à la perpendiculaire au plan D passant par O.
Avec le vecteur normal, il est possible de paramétrer cette droite et de cherche le point de celle-ci qui sera situé à 2 unités du point O (car la sphère à a pour rayon 2.
Une fois que tu auras les coordonnées du centre, il te restera à écrire l'équation de la sphère, ce qui n'est pas trop difficile.
Bon courage et pense à te reposer.

[Invité]

OK donc la première étape pour la question 3 c'est bien de trouver les coordonnées du centre ?

[SoS-Math(25)]

Trouver le centre est tout le problème puisque tu as le rayon de la sphère S.

Notons C(x;y;z) son centre

Il faut traduire les données autrement :

Le plan D est tangent à S donc C est sur une droite dirigée par n et passant par le point d'intersection de D et de S.

O est aussi sur S et le plan D, c'est donc le point d'intersection entre S et D.

Ainsi, C est sur la droite dirigée par n passant par O => conditions sur les coordonnées de C
Et à une distance 2 de O => une équation

Je te laisse faire les calculs.

Bon courage

[Invité]

merci beaucoup j'ai compris grâce à sos maths... une fois encore

[Invité]

ok je vais mettre tout ça en équation.

Pour la 1 :

doit-on bien avoir : n.OM=0 et n.ON=0 ?

Comment trouver les coordonnées de n à partir de ça ?

[sos-math(21)]

Bonjour,
tu vas trouver des relations entre les coordonnées de "ton" vecteur normal.
Tu n'auras pas des coordonnées unique car il n'y a pas un vecteur normal, il y en a une infinité qui sont colinéaires entre eux et dont les coordonnées sont proportionnelles.
Traduis tes deux produits scalaires nuls et tu auras ces relations.
Bonne continuation

[Invité]

Trouver le centre est tout le problème puisque tu as le rayon de la sphère S.

Notons C(x;y;z) son centre

Il faut traduire les données autrement :

Le plan D est tangent à S donc C est sur une droite dirigée par n et passant par le point d'intersection de D et de S.

O est aussi sur S et le plan D, c'est donc le point d'intersection entre S et D.

Ainsi, C est sur la droite dirigée par n passant par O => conditions sur les coordonnées de C
Et à une distance 2 de O => une équation

Je te laisse faire les calculs.

Bon courage

Je suis désolée, je pensais avoir réussi cette question, mais en fait non...

Comment trouver les conditions sur les coordonnées de C et l'équation dont parlent SoS 25 ?
Par contre j'ai trouvé les coordonnées du vecteur n : (1;6;5).

Pourriez vous me montrer comment terminer cette question 3 svp ?
Car l'examen arrive très très vite (mercredi matin).

MERCI. Je suis épuisée....

[sos-math(21)]

Bonjour,
ce que tu peux faire dans un premier temps est de normaliser ton vecteur afin qu'il soit unitaire : tu calcules sa norme et tu divise chaque composante par cette norme, tu obtiens alors un vecteur unitaire \(\overrightarrow{u}\) qui dirige la droite perpendiculaire.
Sur cette droite, ton centre \(C\) se situe à 2 unités du point \(O\) car ta sphère est de rayon 2.
Donc tu auras \(C=O+2\overrightarrow{u}\) ou \(C=O-2\overrightarrow{u}\) (2 possibilités).
Je te laisse terminer le calcul.
Bonne continuation