Calculs déterminant

[Inès]

Bonjour

Désolée d'envoyer autant d'exercices mais j'ai un examen la semaine pro et je stresse énormément.

Un exo avec des déterminants à calculer : https://www.cjoint.com/data/JJkpwIscYpH_calculdet.png

Ce que j'ai trouvé à la question a :
Déterminant de A3 : \(-x_1 ^2 - x_2 ^2\)
Déterminant de A4 : \(-x_1 ^2 - x_2 ^2 - x_3 ^2\)

Est-ce correct ?

Par contre, comment répondre à la question b ? Je n'y arrive vraiment pas...

Merci énormément de m'aider

[SoS-Math(25)]

Pour A3 c'est bon. Pour A4 je suppose aussi que c'est bon.

Une récurrence s'impose non ?

Bon courage

[Invité]

je suis pas sûre que ce soit une récurrence qui est attendue...

Est-ce que ce serait pas plutôt des manipulations sur les lignes ou les colonnes qu'il faudrait généraliser ?

Un peu comme dans l'exercice 4 ici : http://exo7.emath.fr/ficpdf/fic00161.pdf ?

Je ne sais vraiment pas...

[SoS-Math(25)]

Je pense que le récurrence te permet de limiter une grosse partie des calculs si tu développes par rapport à la dernière ligne par exemple.

\(\left|\begin{array}{cccccc}
0 & x_1 & x_2 & \ldots & x_{n-1} & x_n\\
x_1 & 1 & 0 & \ldots & 0 & 0\\
x_2 & 0 & 1 & \ldots & 0 & 0\\
\ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\
x_{n-1} & 0 & 0 & \ldots & 1 & 0\\
x_{n} & 0 & 0 & \ldots & 0 & 1\\
\end{array}\right| =
\pm x_n \times \left|\begin{array}{ccccc}
x_1 & x_2 & \ldots & x_{n-1} & x_n\\
1 & 0 & \ldots & 0 & 0\\
0 & 1 & \ldots & 0 & 0\\
\ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\
0 & 0 & \ldots & 1 & 0\\
\end{array}\right| \pm 1\times \left|\begin{array}{ccccc}
0 & x_1 & x_2 & \ldots & x_{n-1} \\
x_1 & 1 & 0 & \ldots & 0\\
x_2 & 0 & 1 & \ldots & 0 \\
\ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\
x_{n-1} & 0 & 0 & \ldots & 1 \\
\end{array}\right| \)

On utilise notre hypothèse de récurrence dans le deuxième déterminant et pour le premier, une autre récurrence (à part) a faire avant... Commence par une matrice 3x3 pour celle-ci, la conjecture est simple.

Bon courage

[Invité]

donc on doit faire 2 récurrences ?

Vous avez probblement raison, mais ça me semble un peu scolaire pour un examen d'école d'ingénieurs...

[sos-math(21)]

Bonsoir,
cette demande ne me semble pas plus "scolaire" que l'ensemble des exercices que tu nous envoies. Je suis en effet surpris par ce qu'on te demande, on dirait que tu es encore en prépa, à travailler des formules et des exercices techniques.
Donc une récurrence ne me choque pas plus que ce que tu as eu à faire jusqu'à maintenant.
Bonne continuation

[Invité]

en fait je crois avoir trouvé ce qu'attend le prof plutôt que des récurrences :

Je pense que le plus naturel est de se ramener à une matrice triangulaire inférieure en faisant des transformations par combinaisons linéaires sur les colonnes pour enlever les x_i de la première ligne.

Mais j'arrive pas à trouver ces transformations... et vous ?

[SoS-Math(25)]

Bonjour Inès,

On peut effectuer l'opération suivante :

\(C_1 \leftarrow C_1 - x_1C_2 -x_2C_3 - \ldots - x_nC_{n+1}\) On obtient une matrice triangulaire il me semble.

A bientôt