SOS-MATH

Bonjour,
Je n'arrive pas à faire mon DM, ce chapitre me pose un problème..

Merci de bien vouloir m'aider..

On considère la suite (Un) définie par U0=5 et, pour tout entier naturel n, Un+1=(4Un-1)/(Un+2).
On considère la fonction f : x -> (4x-1)/(x+2).

A) Déterminer les variations de f sur [0;+infini[.
B) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, Un>1.
C) Démontrer par récurrence que la suite (Un) est décroissante.

Jai trouvé que pour la A) la fonction f est croissante sur [0;+infini[.
Mais la B et la C je bloque...
Merci...

Bonjour Pierre,

Pour le B, puisqu'il s'agit de démontrer par récurrence
* commence par l'initialisation, autrement dit, U0 est-il plus grand que 1?
* rédige ensuite l'hérédité.
"on considère un entier naturel k tel que Uk > 1. Démontrons que Uk+1 > 1.
Utilise le sens de variation de f : puisqu'elle est croissante sur [0;+inf[, elle conserve l'ordre.
Autrement dit, Uk > 1 donc f(Uk) ... f(1).
Calcule ensuite f(1). Que représente concrètement f(Uk)? Regarde la définition de ta suite...
* il te restera ensuite à écrire la conclusion de ton raisonnement.

Voici un lien vers une vidéo qui peut t'aider, en complément des explications précédentes.
https://www.youtube.com/watch?v=Tjp_jlsOfIU (à partir de la 8ème minute)

pour le C, il s'agit de prouver que chaque terme de la suite est inférieur au terme précédent, donc que Un+1 < Un pour tout entier naturel n.
Tu peux procéder par récurrence aussi, avec les trois étapes initialisation, hérédité, conclusion...

Bonne recherche,
sosmaths

Merci

A bientôt sur le forum
Sosmaths