Exercice bilan

[Inès]

Rebonjour,

J'ai un exercice bilan que j'ai encore du mal à faire : https://www.cjoint.com/data/JJekQq4Cqtl ... ebilan.png

Je pense y arriver pour les questions d à g, mais je suis bloquée pour les questions a à c.
Pourriez vous donc m'aider pour ces questions a à c svp ?

Comment représenter la surface S ? Je n'ai aucune idée du type de surface représentée...

Merci de m'aider autant, je sens que je progresse beaucoup grâce à vous.

et si vous voyez ce message mais que le forum est fermé, cela ne me dérange pas du tt que vous répondiez dans mon message comme certaines fois.

[sos-math(21)]

Bonjour,
l'équation est de la forme \(ax+by+cz+d=0\) donc c'est l'équation d'un plan. Dans ce cas, on sait aussi qu'un vecteur normal à ce plan est \(\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}\)
Comme on a une restriction sur les valeurs de \(x,y,z\), qui doivent être positifs, cela signifie que l'on restreint le plan par les plans \(x0y\), \(y0z\), \(x0z\) : ta surface est donc le triangle de sommets (1,0,0) (0,1,0) et (0,0,1).
Je te conseille de faire une représentation de S dans l'espace
Trouver le vecteur normal doit pouvoir se faire avec des considérations géométriques.
Ensuite, on pour trouver le vecteur normal à ton plan par le calcul, il suffit de considérer une base de ton plan \((\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})\) avec \(A(1,0,0))\), \(B(0,1,0)\) et \(C(0,0,1)\) puis rechercher des conditions sur les coordonnées du vecteur normal pour que le produit scalaire avec ces deux vecteurs soit nul.
Bonne continuation

[Invité]

merci beaucoup j'ai compris que c'était un plan

je n'arrive pas à représenter ce plan dans l'espace : quelle est la méthode pour cela ?

merci de m'aider autant

[sos-math(21)]

Bonjour,
comme je l'ai dit, c'est le triangle ABC.
Je te joins un fichier GeoGebra pour t'aider à voir ce plan.

Téléchargez la figure ici.

Bonne continuation

[Invité]

ah oui merci !

Pour la c avez vous une idée ?

je n'y arrive pas du tout...

[sos-math(21)]

Bonjour,
pour le vecteur normal, il faut partir du fait qu'il est normal à tout vecteur du plan, en particulier à tout vecteur d'une base quelconque.
En particulier, en prenant comme base \((\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})\) en en traduisant le produit scalaire \(\overrightarrow{n}.\overrightarrow{AB}=0\) et \(\overrightarrow{n}.\overrightarrow{AC}=0\) : tu devrais obtenir que les coordonnées de ton vecteur normal vérifient \(a=b=c\) donc que ton vecteur est colinéaire à \(\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\).
Bonne continuation

[Invité]

merci de la réponse, encore une fois
Je commence à comprendre.

Mais comment rédiger les questions b et c rigoureusement, proprement ?

Si vous avez le temps de rédiger à la main, comme une autre fois, je vous en serais très reconnaissante, l'examen final approchant très vite (lundi prochain)

[sos-math(21)]

Bonsoir,
il vaut mieux que ce soit toi qui rédiges une réponse et je te dirai si elle est satisfaisante ou non.
Bonne continuation

[Invité]

Hélas je n'y arrive vraiment pas...

Pourriez vous me montrer pour la question b svp ?

[sos-math(21)]

Bonjour,
je ne suis pas trop sûr de la réponse attendu par ton professeur à la question b.
Ton vecteur normal peut être vu comme le produit vectoriel de deux vecteurs directeurs de ton plan.
Comme on connait, une base de ce plan (par exemple \((\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC})\)), on peut calculer \(\overrightarrow{AB}\wedge \overrightarrow{AC}\).
pour la question c, il faut utiliser les coordonnées barycentriques (là encore, je ne vois pas trop l'intérêt de vous "guider" vers cela, sachant que vous avez fait de l'agèbre linéaire, non ?) en disant qu'il existe trois réels positifs ou nuls \(\alpha,\beta,\gamma\), tels que \(\alpha+\beta+\gamma=1\) et tels que \(\alpha \overrightarrow{MA}+\beta \overrightarrow{MB}+\gamma \overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}\)
donc en particulier en intercalant le point A dans les deux derniers vecteurs, on obtient que
\(\overrightarrow{AM}=\beta\overrightarrow{AB}+\gamma \overrightarrow{AC}\), ce qui n'est autre que l'expression du fait que tout vecteur du plan peut s'exprimer comme combinaison linéaire de deux vecteurs de la base \((\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC})\)).
Donc ton vecteur normal \( \overrightarrow{n}\) doit être orthogonal à tout vecteur \(\overrightarrow{AM}\) de cette forme, donc en particulier pour les vecteurs de la base, ce qui te donne des informations sur les coordonnées de ce vecteur (reprends mon précédent message).
Bonne continuation

[Invité]

Je suis désolée mais après relecture de tous les messages de ce topic il y a encore quelque chose que je comprends pas, et peut être que qqu'un d'autre que SoS 21, si il n'est plus là ce soir, pourrait répondre car c est une question générale:

pourquoi, pour trouver le vecteur normal n à un plan de (vecteur AB, vecteur AC), on doit avoir n.AB et n.AC=0 ?

Le produit scalaire nul c'est quand des vecteurs sont colinéaires et en plus ces 2 conditions (n.AB et n.AC=0) sont incompatibles ?!

[SoS-Math(25)]

Bonsoir Inès,

Les modérateurs de ce forum contribuent quand ils le peuvent. Pour ce sujet nous avons des billes mais pour d'autres cela nous prend plus de temps (et nous n'en n'avons pas toujours). C'est un forum, pas un chat.

Reprends les propriétés du produit scalaire. Un produit scalaire nul entre deux vecteurs (non nuls) signifie que les deux vecteurs sont orthogonaux (dans un implicitement euclidien).

Prends des exemples dans un plan pour les dessiner : \(\vec{u}(1,1)\) et \(\vec{v}(1,-1)\)...

Ainsi, dans l'espace \(\mathbb{R}^3\), un vecteur normal \(\vec{n}\) au plan vectoriel engendré par deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) est orthogonal à chacun des vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\). D'où les équations issues des produits scalaires nuls.

Attention toutefois ! Comme nous te l'avons dit dans un autre sujet, il est aussi possible d'utiliser le produit vectoriel (à ne pas confondre avec le produit scalaire) seulement si ton.ta professeur de mathématiques l'a définit et démontrer ses propriétés. Je te déconseille de l'utiliser si ce n'est pas le cas. Le produit vectoriel est difficile à caractériser mathématiquement.

Il est tard,

Bon courage et à bientôt,

Sos-math

[Invité]

merci beaucoup je comprends mieux

par contre pourquoi dans la (c) ils demandent "avec un paramétrage de S" ?

Ici pourtant ce n'est pas ce qu'on a fait, si ?

[sos-math(21)]

Bonjour,
pour moi, écrire une combinaison linéaire avec les vecteurs de base, correspond bien à un paramétrage.
Je te laisse mettre en forme.
Bonne continuation