Vecteurs unitaires, gradients...

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Terminale S+1

Vecteurs unitaires, gradients...

Message par Terminale S+1 » sam. 3 oct. 2020 11:37

Bonjour SOS-21 (j'espère que c'est vous qui répondrez).

Je sais que ce forum s'adresse à des élèves de niveau lycée.
Cependant, vous m'avez dit que j'avez le droit de poster des messages jusqu'au niveau bac +2.

Je suis coincé dans un exercice, je vous fait un résumé de celui ci.
Je me trouve au point M d'une montagne dont j'ai l'équation. Je dois déterminer la direction que je dois prendre pour atteindre le sommet le plus rapidement. Je dois donner la réponse sous la forme d'un vecteur unitaire.

Pour cela, j'ai calculé le gradient, car on cherche la direction vers laquelle la fonction croit.
Je trouve que ce gradient est = -150 (146,4 ex +143 ey).
Ce résultat est juste, ce n'est pas le problème.

Je dois exprimer cela sous la forme d'un vecteur unitaire, et c'est là où je suis bloqué. On m'a conseillé de procéder comme dans la pièce jointe.
Je le comprends pas :
1/ pourquoi y a t'il des valeurs absolue (souligné en vert) ?

2/ comment passe t'on de l'encadré rouge à l'encadré bleu ? Quand on passe le vecteur u (avec une flèche) de l'autre coté, pourquoi n'a t'on pas 1/u ?

3/ pourquoi faut il que téta = 0 ? (souligné en marron)

Merci beaucoup de votre aide monsieur SOS-21 !
Bonne journée !

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sos-math(21)
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Re: Vecteurs unitaires, gradients...

Message par sos-math(21) » sam. 3 oct. 2020 12:48

Bonjour,
les valeurs soulignées en vert ne sont pas des valeurs absolues mais des normes de vecteurs, ce qui correspond à la longueur de ceux-ci.
La première formule est la définition géométrique du produit scalaire appliquée au gradient.
Comme on multiplie un nombre positif (les normes des deux vecteurs) par \(\cos(\theta)\), ce nombre sera maximal quand le cosinus sera maximal.
Or le cosinus est maximal quand il vaut 1, ce qui arrive lorsque l'angle vaut 0 (à \(2\pi\) près).
Donc on obtient que le vecteur unitaire à partir du gradient est donné par le gradient divisé par sa norme.
Par exemple dans \(\mathbb{R}^3\), dans un repère orthonormé, si tu connais ton gradient \(\overrightarrow{\nabla}f\begin{pmatrix}\dfrac{\partial f}{\partial x}\\\dfrac{\partial f}{\partial y}\\\dfrac{\partial f}{\partial z}\end{pmatrix}\) alors ta norme de vecteur vaut : \(||\overrightarrow{\nabla}f||=\sqrt{\left(\dfrac{\partial f}{\partial x}\right)^2+\left(\dfrac{\partial f}{\partial y}\right)^2+\left(\dfrac{\partial f}{\partial z}\right)^2}\)
Bonne continutation
Terminale S+1

Re: Vecteurs unitaires, gradients...

Message par Terminale S+1 » sam. 3 oct. 2020 13:09

Merci monsieur de votre réponse.
Je suis très content de la lire, ca m'aide beaucoup
sos-math(21) a écrit :
sam. 3 oct. 2020 12:48
Donc on obtient que le vecteur unitaire à partir du gradient est donné par le gradient divisé par sa norme.
Pourquoi n'a t'on pas utilisé cela directement ?
Pourquoi sommes nous passer par les deux lignes de calculs et de raisonnement (dans ma PJ) ?

Est ce qu'on passe de l'encadré rouge à l'encadré bleu comme dans une équation "normale" ?

Merci encore de votre attention Monsieur SOS 21
sos-math(21)
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Re: Vecteurs unitaires, gradients...

Message par sos-math(21) » sam. 3 oct. 2020 13:32

Bonjour,
Dans un repère orthonormé, le vecteur gradient pointe dans la direction où la fonction croît le plus rapidement, et son module est égal au taux de croissance dans cette direction.
Donc je pense que ce texte voulait expliquer que la direction était donnée lorsque le produit scalaire, donc le gradient, était maximal.
Il est donc maximal lorsque l'on prend le vecteur unitaire.
Bonne continuation
Terminale S+1

Re: Vecteurs unitaires, gradients...

Message par Terminale S+1 » sam. 3 oct. 2020 20:50

Merci SOS 21

Pardon de vous déranger encore.
Pouvez vous s'il vous plait me résumer ce que je dois faire pour passer de l'expression du gradient (dans mon premier message) à un vecteur unitaire ?
Pourriez vous lister les étapes s'il vous plait, comme dans une recette de cuisine.

Cette étape est un peu floue pour moi.

De plus, pouvez vous m'expliquer ce que signifient ces deux lignes de calculs ? D'ou est ce que cela vient ? Qu'est ce que cela veut dire ?

Merci monsieur SOS21
Bonne soirée !:

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sos-math(21)
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Re: Vecteurs unitaires, gradients...

Message par sos-math(21) » sam. 3 oct. 2020 21:18

Bonsoir,
pour obtenir un vecteur unitaire, il suffit de diviser le vecteur considérer par sa norme.
Donc si on prend n'importe quel vecteur \(\overrightarrow{v}\) et que l'on fait \(\dfrac{\overrightarrow{v}}{||\overrightarrow{v}||}\), on obtient un vecteur ayant même direction, même sens que \(\overrightarrow{v}\) mais de norme égale à 1 donc c'est bien un vecteur unitaire, que l'on peut noter \(\overrightarrow{u}\).
Les lignes que tu cites traduisent cela : \(\dfrac{\overrightarrow{v}}{||\overrightarrow{v}||}=\overrightarrow{u}\) donc en multipliant par la norme,
on a \(\overrightarrow{v}=||\overrightarrow{v}||\overrightarrow{u}\)
Est-ce plus clair ?
Terminale S+1

Re: Vecteurs unitaires, gradients...

Message par Terminale S+1 » lun. 5 oct. 2020 17:26

Merci de votre aide SOS21 !

J'ai compris.
C'es très clair !

J'aime beaucoup travailler avec vous (en fin d'année dernière et cette année) ! Vous êtes très pédagogue !
Merci encore de votre aide !
A bientot, j'espère.
sos-math(21)
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Re: Vecteurs unitaires, gradients...

Message par sos-math(21) » lun. 5 oct. 2020 19:29

Bonjour,
merci pour ton retour, cela fait toujours plaisir.
Bonne continuation
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