Matrice déterminant

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Camille

Matrice déterminant

Message par Camille » mer. 30 sept. 2020 17:16

Bonjour,

Je suis en prépa et je galère avec des exos sur les matrices.

En voici un premier :

Calculer le déterminant de la matrice suivante :

\(\begin{bmatrix}
a_1 & a_2 & a_3 & ... & a_n\\
a_1 & a_1 & a_2 &... & a_{n-1} \\
. & . & . &... & ...\\
a_1 &a_1 &a_1 &... & a_2\\
a_1 & a_1 & a_1 &... & a_1
\end{bmatrix}\)

Comment faire ?

Quelle est la méthode à adopter étant donné que c'est une matrice avec pleins de lignes et de colonnes ? Je suis complètement bloquée

J'espère que vous pourrez m'aider, merci.
SoS-Math(34)
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Re: Matrice déterminant

Message par SoS-Math(34) » jeu. 1 oct. 2020 17:14

Bonjour,

L'idée générale est d'ajouter ou de soustraire certaines colonnes entre elles : cette action ne change pas le déterminant et permet de calculer par la suite plus simplement le déterminant.
Un exemple en vidéo en travaillant sur les lignes : https://youtu.be/6nkcPi_00Bc
Dans ton exemple, il peut être intéressant dans ton exemple de remplacer la colonne C1 par (C2 - C1), ce qui fera apparaître des 0 dans la colonne C1. Même démarche pour faire apparaître des 0 dans la colonne C2, puis dans les colonnes suivantes.
Par la suite, tu pourras calculer simplement le déterminant si tu arrives à obtenir une matrice triangulaire.

Bonne recherche
Sosmaths
Invité

Re: Matrice déterminant

Message par Invité » jeu. 1 oct. 2020 17:16

Merci de votre réponse, j'étais justement connectée au site !

Donc l'objectif dans ce genre d'exos c'est de faire apparaître le plus de 0 possibles dans la matrice, c'est bien ça ?

Si oui, pourquoi ?

bonne soirée ! :)
SoS-Math(7)
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Re: Matrice déterminant

Message par SoS-Math(7) » jeu. 1 oct. 2020 18:08

Bonjour Camille,

En fait, l'objectif est de "trigonaliser" la matrice afin d'utiliser un résultat de ton cours qui dit que le déterminant d'une matrice triangulaire est le produit des coefficients de la diagonale. Cela permet d'être beaucoup plus efficace pour calculer ce déterminant.

A bientôt et bon courage.
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