Limite suite et factorisation

[Léo]

Bonjour, j’ai besoin de votre aide pour l’exercice suivant :

On considère une suite (Un), définie pour tout entier naturel n par Un = 3n^2-8n+2.

1) a) Sans transformer Un, expliquez pourquoi le calcul de la limite de (Un) donne une forme indéterminée.
b) Factoriser

[Léo]

Bonsoir j’ai besoin de votre aide pour l’exercice suivant:
On considère la suite (Un) définie pour tout entier naturel n par Un = 3n^2 - 8n + 2

Questions:

1)a. Sans transformer Un, expliquer pourquoi le calcul de la limite de (Un) donne une forme indéterminée.
b) Factoriser 3n^2 - 8n +2 par son terme de plus haut degrés c’est-à-dire 3n^2. En déduire la limite de (Un).
2) En utilisant la même méthode, calculer les limites des suites (Vn) et (Wn) définies pour tout entier naturel n par :
a) Vn=-2n^2 + 4n -5
b) Wn = 5n^3 - 3n^2 -7n +9
c) Xn= 10n^2 - 5n^4 +7.

Mes réponses :

1)a. Justifions la question à l’aide de la règle d’une limite d’une somme de suites:
*lim 3n^2=+oo
*lim -8n+2 = -oo

Donc lim 3n^2-8n+2 est bien une forme indéterminée.

b) Un = 3n^2-8n+2
Donc Un = n(3n-8)+2
Alors :
-lim n+2 = +oo
-lim 3n-8 = +oo

Donc lim Un = +oo


2)a) Vn = -2n^2+4n-5
Où Vn = n (-2n+4)-5
Donc lim n-5 = +oo
Donc lim -2n+4 = -oo... Mais ceci donne une forme indéterminée ? Je suis bloqué ici...

Merci énormément si vous m’aidez.

[SoS-Math(9)]

Bonsoir Léo,

1. Comme la limite en \(+\infty\) de \(n^2\) et \(n\) en l'infini est \(+\infty\) alors par différence on aura une forme indéterminée...

2. Il faut factoriser \(n\) ou \(n^2\)...

SoSMath.

[SoS-Math(33)]

Bonjour Léo,
j'ai fusionner tes deux sujets.
Pour ta première question tu as la réponse de SoS-Math(9)
Pour ta deuxième question, il n' y a pas de forme indéterminée pour \(+\infty \times -\infty\)
SoSmath

[SoS-Math(9)]

Bonsoir Léo,

Ce que tu as fait est bien, mais tu ne respectes pas les consignes ... on te demande de factoriser le terme de plus degré !
Exemple : \(U_n=3n^2(1-\frac{8n}{3n^2}+\frac{2}{3n^2}) = 3n^2(1-\frac{8}{3n}+\frac{2}{3n^2})\)
Or \(\lim_{n \to +\infty}\frac{1}{n} = 0\) et \(\lim_{n \to +\infty}\frac{1}{n^2} = 0\) donc \(\lim_{n \to +\infty}1-\frac{8}{3n}+\frac{2}{3n^2} = 1\).
De plus \(\lim_{n \to +\infty}3n^2 = +\infty\), donc par produit des limites (\(1 \times (+\infty) = +\infty\)) on aura \(\lim_{n \to +\infty} U_n= +\infty\).

SoSMath.

[Léo]

Bonsoir, merci pour vos réponses et désolé de répondre que maintenant.

Voici ce que j’ai fait pour l’exercice

1) a) (J’ai remis l’expression à ma façon, dites-moi si c’est correct) Comme n^2 a pour limite +oo et que n a pour limite également +oo, leur différence va donner une forme indéterminée.

1)b) (J’ai refais ici le calcul à ma façon, dites-moi si c’est correct)
Un = 3n^2 - 8n +2
donc Un = 3n^2 (1 - 8n/3n^2 + 2/3n^2), alors Un = 3n^2 (1 - 8/3n + 2/3n^2)
Or lim n—>+oo 8/3n = 0 et lim n—> +oo 2/3n^2 = 0
Donc lim n—> +oo (1 - 8/3n + 2/3n^2) = 1
De plus lim n—> +oo 3n^2 = +oo
Donc on a lim n—> +oo Un = +oo

Je m’excuse d’avance pour la qualité de représentation (faute de parenthèse notamment) .


Voici ce que j’ai fais pour le 2), merci de me dire si c’est correct

2)a. Vn = -2n^2 + 4n -5
Donc Vn = -2n^2 (1- 4n/-2n^2 - 5/-2n^2)
Donc Vn = -2n^2 (1 - 4/-2n - 5/-2n^2)
Or lim n—>+oo 4/-2n = 0 et lim n—>+oo 5/-2n^2 = 0, donc lim n—>+oo (1 - 4/-2n - 5/-2n^2) =1.
De plus lim n—> +oo -2n^2 = -oo

Donc lim n—>+oo Vn = -oo

b) Wn = 5n^3 - 3n^2 - 7n +9
Donc Wn = 5n^3 (1 - 3n^2/5n^3 - 7n/5n^3 + 9)
Alors Wn = 5n^3 (1 - 3n/5n^2 - 7/5n^2 + 9) = 5n^3 (1- 3n-7/5n^2+9)
Donc Wn = 5n^2 (10 - 3n-7/5n^2), où lim n—>+oo 10 = 10 et où lim n—> +oo 3n-7/5n^2 = 0
Donc lim n—>+oo 10- 3n-7/5n^2 = 10

Et lim n—>+oo 5n^2 = +oo

Alors lim n—>+oo Wn = +oo

c. Xn = 10 n^2 - 5n^4 +7
Donc Xn = -5n^4 (1 - 10n^2/-5n^4 + 7/-5n^4)
Xn = -5n^4 (1- 10n/-5n^3 + 7/-5n^4)
Alors Xn = -5n^4 (10 - 10/-5n^2 + 7/-5^4)

Où lim n—>+oo 10/-5n^2 = 0 et lim n—>+oo 7/-5n^4 = 0, donc lim n—> +oo (1 - 10/-5n^2 + 7/-5^4) = 1

On sait que lim n—> +oo -5n^4 = -oo
Alors lim n—>+oo Xn = -oo

Merci pour votre aide, bonne soirée.

[SoS-Math(34)]

Bonsoir Léo,

C'est correct, tu as compris qu'il fallait à chaque fois factoriser par le terme comportant la plus grande puissance de n.

A bientôt
Sosmaths