dérivée n-ième d'une fonction

[cloe.perroud]

Bonjour,
j'ai un exercice de math à rendre en DM, mais la je sèche...

voici le sujet :
Soit f la fonction inverse définie par : f(x)=1/x
Soit k un entier naturel. On considère la dérivée k-ième de f notée f^(k)(x).
Ainsi f^(1)(x)= -1/x^2
f^(2)(x)= 2/x^3
1) Calculer f^(3)(x) et f^(4)(x).
j'ai trouvé pour cette question f^(3)(x)=-6/x^3 et f^(4)(x)= 18/x^4

2) Conjecturer une formule de f^(k)(x).
3)Démontrer cette formule par récurrence sur k>=1.
4)Démontrer par récurence sur k>=1 que, pour f(x)=1/a+x, avec a réel: f^(k)(x)= (-1)^kK!/(a+x)^k+1

Merci d'avance pour une éventuelle piste de réponse

[SoS-Math(25)]

Bonjour Cloé,

Une petite erreur à corriger dans \(f^{(3)}(x)\).

Je trouve \(x^4\) au dénominateur

Il faudra donc aussi corriger \(f^{(4)}(x)\)

Pour la conjecture, ce n'est pas si simple. La puissance au dénominateur devrait se voir facilement mais au numérateur... je te laisse chercher.

Bon courage

[cloe.perroud]

Oui du coup je me suis rendue compte après de mon erreur et je l'ai corrigé !

j'ai réussi jusqu'à la question 3 avec l'aide de ma prof, je vais tenter la suite mais je ne suis pas contre pour un peu d'aide^^

[SoS-Math(31)]

Bonjour cloe,
la récurrence se fait en deux étapes.
première étape : "initialisation" ici pour k = 1 car on vaut montrer la propriétéà partir un rang k = 1.
¨Pour k = 1 f\(^{(k)}\) est la dérivée de f. Tu compare le résultat trouvé précédemment à
(-1)\(^{1}\) \(\frac{1!}{(a+x)^{1+1}}\) si j'ai bien vu ta formule.
deuxième étape : "hérédité" . On choisit un entier k tel que l'égalité est vérifiée f^(k)(x)= (-1)^kK!/(a+x)^k+1.
On doit alors montrer l'égalité au rang suivant. Il faut calculer f\(^{(k+1)}donc dériver f^{(k)}\).
et retrouver (-1)\(^{k+1}\) \(\frac{(k+1)!}{(a+x)^{k+1+1}}\).
Bonne continuation