SOS-MATH

Bonjour,
Voilà ma question,
m est un nombre réel et f est définie sur \(\mathbb{R}\) par : \(\left\{\begin{matrix} f(x)=\frac{m}{x} si x\in [1;10[\\ f(x)=0 sinon \end{matrix}\right.\)
On me demande de déterminer m pour que f soit une fonction de densité.

D'après mon cours, il faut que f soit continue et positive sur \(\mathbb{R}\) et l'aire sous la courbe de f est égale à 1 u.a
Je dois considérer l'intervalle [1; 10 [ et calculer l'intégrale ?
Franchement, je ne sais pas trop comment m'y prendre ?
J'ai fait des exercices avec des intervalles fermés ou semi-ouvert mais jamais \(\mathbb{R}\).

Bonjour Cyprien,
je te conseille, dans un premier temps, de regarder les vidéos qui font référence aux densité sur ce lien :
http://jaicompris.com/lycee/math/probabilite/probabilite-continue.php
SoSmath

Bonsoir, j'ai regardé la vidéo et ça reprend bien mon cours. Mais je trouve que mon exercice est plus compliqué.
Pour que f soit positive il faut déjà que m>0 mais ensuite la continuité me pose problème et je pense que je doit calculer l'intégrale mais je ne sais pas sur quelles bornes , faire la somme de 2 intégrales \(-\infty\) a et a \(+\infty\) mais quel a prendre et en fait l'intégrale ne peut être différente de 0 que sur [1 ; 10[ mais ce qui me gêne aussi c'est le crochet ouvert en 10 ....

bonjour Invité,
du moment que la fonction est nulle en dehors de l'intervalle [1 ; 10], il suffit de calculer l'intégrale sur cet intervalle.
Tu va obtenir un résultat qui va dépendre de \( m\).
Il restera à calculer \(m\) pour que l'intégrale aie pour valeur 1.
Est-ce que le calcul de l'intégrale te pose problème ? Il suffit de déterminer la primitive de \(f(x)=\frac{m}{x}\)
à bientôt

Bonsoir ,
Non le calcul de l'intégrale ne me pose pas problème. J'ai trouvé \(m=\frac{1}{ln10}\)
C'est plutôt la justification de la continuité et le crochet ouvert à 10 pour le calcul de l'inégrale qui est normalement sur un intervalle fermé (non ?) qui me posent problème.
Merci

Bonjour,
la continuité n'a de sens que sur l'intervalle \([1~;~10[\) car la fonction n'est pas définie sur \(\mathbb{R}\) : elle est en effet discontinue en 1 et en 10 : Donc ta fonction est clairement continue sur l'intervalle \([1~;~10[\) et le fait que l'intervalle soit ouvert en 10 ne doit pas te poser de problème : on ne demande pas ce niveau de précision en terminale, car sinon, tu aurais pu tout de suite conclure que ton exercice n'avait pas de sens puisque la fonction proposée n'est pas continue : ta fonction ne peut pas être une densité sur \(\mathbb{R}\) car elle n'est pas continue sur \(\mathbb{R}\).
En revanche, elle est bien continue sur \([1~;~10[\) et c'est bien une densité sur cet intervalle.
Bonne continuation

Bonjour,
ah d'accord, merci, c'est bien ce que je me disais quand même pour la continuité ! ...je me (vous) pose peut-être trop de questions parfois...
Du coup, j'en ai encore une :
dans la suite de l'exercice, on considère X une variable aléatoire de densité f et X1 définie par X1=0,5.X
Est ce que P(0,5<X1<1) = P(1<X<2) autrement dit est ce que je peux diviser les bornes par 0,5.
Je pense que oui sinon je vois pas comment faire surtout que j'ai calculé P(1<X<2) dans une question précédente.
Merci

Bonjour Cyprien,
Oui P( 0,5 < X1 < 1) = P(1<X<2)
Bonne continuation.

Merci de votre réponse.
Bonne fin de journée.

Merci Cyprien et bonne journée.