SOS-MATH

Bonsoir,

Soit f est une application linéaire de R3 dans lui-même.

Pourquoi, si l'on a Un+1=f(Un), peut-on affirmer que pour tout entier naturel n, on a : Un=f^(n)(U0) ?

J'ai compris la preuve par récurrence qu'il y a derrière, mais j'ai l'impression de ne pas comprendre la logique qu'il y a dernière : il se cache une suite géométrique, non ?

Merci par avance pour vos explications.

Bonjour,

Le symbole "exposant n" est sans doute source de confusion ici.
Ne confonds pas :
* ce symbole utilisé pour la puissance d'un nombre (réel par exemple) : \(2\times 2\times 2\times ...\times 2=2^{n}\) quand le produit comporte n facteurs égaux à 2.
* ce symbole utilisé pour la composition des fonctions : \(f\circ f\circ f...\circ f=f^{n}\).
Dans ton exemple, il me semble que tu es dans le deuxième cas.

Bonne recherche
Sosmaths

Bonjour,

Pour mieux appréhender cette notation, je te propose de regarder ce que cela donne sur le calcul des termes de la suite (ce qui justifie la démonstration de cette propriété par récurrence).
Tu connais \(u_0\) et tu sais que pour tout \(n\in \mathbb N\), \(u_n=f(u_n)\).
On a donc \(u_1=f(u_0)\) et \(u_2=f(u_1)\) soit \(u_2=f(f(u_0))=f\circ f(u_0)=f^2(u_0)\)
De même \(u_3=f(u_2)=f(f^2(u_0))=f\circ f\circ f(u_0)=f^3(u_0)\).
J'espère que ces exemples te permettront de mieux comprendre cette démonstration et notation.

Bonne continuation.

bonjour,
il me semble qu'il est important de signaler que la notation en puissance pour composition itérée de fonctions est utilisée lorsqu'il s'agit d'une application linéaire d'un espace vectoriel (ici R^3) dans lui-même (ça s'appelle un endomorphisme).
Car pour une fonction réelle usuelle, la puissance correspond bien au produit : pour x=\(\frac{\pi}{4}\) , on a
cos² x = (cos x)² = \(\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2\) = \(\frac12\).
La raison est que la composition des endomorphismes joue le rôle que joue la multiplication pour les fonctions réelles (cela correspond à une structure spéciale appelée "anneau" où il y a une addition et un produit vérifiant des règles de calcul "habituelles" - sauf éventuellement la commutativité du produit).
L'ambiguïté peut par exemple se produire pour une fonction linéaire de R vers R - de la forme f(x)=kx où k constante fixée - car alors (fof)(x)=k²x tandis que f²(x) = k²x² : le contexte lève l'éventuelle ambiguïté...