Dm spé

[Axel]

Bonjour j'ai un dm à faire sur les matrices assez compliqué j'ai du mal à débuter pourriez vous m'aider un peu svp
Partie I : Fonction homographiqueOn considère la fonction homographique définie par f(x)=ax+b/cx+d avec c≠0 et d ≠0.On suppose de plus que ad−bc≠0et que −dc<0.La fonction f est donc définie sur [0;+∞[ ( R + ) .On associe à f la matrice A=a b
. c d
1. Démontrer que le sens de variation de f dépend du signe du déterminant de A. ( Je vois pas comment le déterminant qui sert juste à déduire si une matrice est inversible pourrait m'aider)
2. Démontrer que pour tout x réel, on a a/c⩽f(x)⩽b/d si f est décroissante ou b/d⩽f(x)⩽a/c si f est croissante.
PartieII: Approximation de √2√2est la solution positive de l'équation x^2−2=0(E).
1.Démontrer que (E)⇔x=x+2/x+1. Autrement dit, √2est solution de x=f(x)et fonction homographique.( pour cette question il faudrait que je remplace les x par racine de 2 et que je trouve le même nombre des deux côtés ?
2. Utiliser la partie I pour donner un encadrement de √2.3.
3 Calculer A2et A3et en déduire de nouveaux encadrements de √2
Je vous en remercie d'avance

[SoS-Math(9)]

Bonjour Axel,

Partie I, question 1 : il faut dériver la fonction f … et tu verras le rapport avec le déterminant de la matrice.
question 2 : Fais un tableau de variations complet (avec les limites).

SoSMath.

[Axel]

Merci bien j'ai dérivé et c'est apparu tout seul le rapport avec le déterminant cependant j'ai un peu de mal à faire le tableau de variations comme ad-bc est différent de 0 cela ne s'annule jamais donc f'(x) est toujours positif et donc f(x) croissant ? et je vois pas comment je Démontrer que a/c est inférieur à f(x) si f est décroissante ?

[SoS-Math(9)]

Axel,

ad-bc ne s'annule jamais mais il peut changer de signe … Tu as donc deux cas : si ad-bc > 0 ou ad-bc < 0.
Si f est décroissante sur [0 ; + \(\infty\)[ alors f(x) appartient à ]\(\lim_{x\to +\infty} f(x)\) ; f(0)].


Pour la partie II, question, il faut utilise le produit en croix pour trouver l'équivalence … \(x=\frac{x+2}{x+1}\) ⇔ …

SoSMath.

[Axel]

Je remplace quelle lettre par x pour caluler les limites aux bornes ? et je dois prendre x = 0 pour calculer le minimum de f(x) ? et ensuite comment pourrais je déduire a/c < f(x)< b/D

II Ok je l'ai fait ça me fait axd + bcx mais je vois pas comment ça pourrait me montrer racine de 2 est solution

[SoS-Math(9)]

Axel,

je te rappelle que f(x) appartient à ]a ; b] <=> a < f(x) =< b.

Pour calculer la limite en + \(\infty\), on ne remplace pas x par une valeur … mais on utilise des limites de référence.
\(\frac{ax+b}{cx+d}=\frac{a+\frac{b}{x}}{c+\frac{d}{x}}\)
et \(\lim_{x \to +\infty}a+\frac{b}{x}=a\) …

Je te laisse terminer.

SoSMath.

[Axel]

Ok donc lim ax+b/cx+dlorsque x tend vers +infini = a/c de même pour lim ax+b/cx+d lorsque x tend vers 0 = b/d et comme + infini est supérieur à 0 la limite en + infini sera supérieur à la limite en 0 et donc a/c<f(x)<b/d ?

[SoS-Math(25)]

Bonsoir Axel,

Reprends l'indication de mon collègue avec tes calculs de limites :

Axel,

ad-bc ne s'annule jamais mais il peut changer de signe … Tu as donc deux cas : si ad-bc > 0 ou ad-bc < 0.
Si f est décroissante sur [0 ; + \(\infty\)[ alors f(x) appartient à ]\(\lim_{x\to +\infty} f(x)\) ; f(0)].

SoSMath.

A bientôt

[Axel]

Je viens de réaliser entièrement mon tableau de variations et oui lorsque f(x) est décroissante je vois bien que f(x)<b/d mais comment je peux déduire a/c< f(x) uniquement sur la partie décroissante? ( en plus dans mon tableau f(x) < a/c
Concernant la partie 2 je pourrai avoir un peu plus d'éclaircissement sur le produit en croix à réaliser s'il vous plaît ?

[SoS-Math(9)]

Bonjour Axel,

voici le tableau :

TabVar.JPG (14.82 Kio) Vu 4867 fois

Donc d'après le tableau de variations de f, on peut en déduire que a/c < f(x) =< b/d.

Voici le produit en croix : \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) <=> \(a \times d = b\times c\).

SoSMath.

[Axel]

Bonjour oui mais vu que sur une partie ad-bc < 0 et une autre partie 0<ad-bc la variation n'est elle pas d'abord décroissante puis croissante ?
Excusez moi mais je ne vois toujours pas comment cela pourrait m'aider à montrer que x= (x+2)/(x+1).


Axel, je réponds sur ton message car le site est fermé !
Je ne comprends pas "sur une partie ad-bc < 0 et une autre partie 0<ad-bc" … ta fonction est soit croissante (si 0<ad-bc) sur [0 ; +\(\infty\)[ soit elle est décroissante sur [0 ; +\(\infty\)[.

Avec le produit en crois : x= (x+2)/(x+1) <=> x(x+1) = x + 2 <=> x² + x = x + 2 <=> x² - 2 = 0.

SoSMath.

[Axel]

excusez moi j'avais trouvé qu'elle était décroissante puis croissante et j'essayais de comprendre pourquoi vous aviez seulement décroissant , ok merci beaucoup et concernant l'encadrement je dois mettre Racine de 2 dans une inéquation pour pouvoir l'encadrer ?

[SoS-Math(7)]

Bonsoir Axel,

La deuxième partie est délicate. Tu sais que \(\sqrt{2}\) est la solution positive de \(x^2-2=0\)(E) et que cette équation (E)\(\iff f(x)=x\) avec \(f(x)=\frac{x+2}{x+1}\) dont la matrice associée est \(A=\begin{pmatrix} 1&2\\1&1 \end{pmatrix}\).
Calcule le déterminant de cette matrice, son signe te donnera la variation de \(f\) et l'encadrement de la première partie, un premier encadrement de \(\sqrt{2}=f(\sqrt{2})\).

Du coup, cette égalité te permet de montrer que \(f(\sqrt{2})=f(f(\sqrt{2}))\) et comme \(f(\sqrt{2})=\sqrt{2}\). Tu as donc \(\sqrt{2}=f(f(\sqrt{2}))\). Or si tu regardes de plus près \(f(f(x))\), tu verras que cette expression est celle d'une nouvelle fonction homographique dont les coefficients \(\frac{ax+b}{cx+d}\) sont les coefficients de la matrice \(A^2\). On peut nommer cette fonction \(g\). De nouveau son déterminant te donnera sa variation et la première partie te donne alors un nouveau encadrement de \(\sqrt{2}\).

De la même façon, comme \(\sqrt{2}=g(\sqrt{2})\) on peut appliquer de nouveau la fonction \(f\) et on obtient \(f(\sqrt{2})=f(g(\sqrt{2}))\) qui est encore une fonction homographique (nommons la \(h\)) dont les coefficients sont ceux de la matrice \(A^3\). On a alors \(\sqrt{2}=h(\sqrt{2})\). Une démarche similaire te donne un nouveau encadrement de \(\sqrt{2}\).

Je te laisse réfléchir à tout cela et rédiger ta démarche.