Fonctions terminales

[milaapnt]

Bonjour je bloque sur un exos de terminal S, pouvez vous m'aider :
Soit E= x"4+2x"3-13x"2+2x+1=0
A. 0 est il solution de l'équation E
B. On pose y=x+1/x
Montrer que x est solution de E si et seulement si y est racine d'un trinôme du second degré que l'on précisera.
C. En déduire toutes les solutions dans R de l'équation E


Merci d'avance
Mila

[sos-math(21)]

Bonjour,
la première question ne devrait pas poser de problème : il suffit de remplacer \(x\) par 0 dans le membre de gauche et de voir si ce membre vaut 0.
Pour la suivante, il faut faire des regroupements.
On te dit que l'expression \(y=x+\dfrac{1}{x}\) doit être solution d'une équation du second degré donc on peut commencer par calculer \(y^2=\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2=x^2+2+\dfrac{1}{x^2}\).
Donc il faut qu'il y ait des fractions du type \(\dfrac{1}{x^2}\).
Comme 0 n'est pas solution, on peut diviser l'équation E par \(x^2\) cela donne une équation équivalente de la forme :
\(x^2+2x-13+\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{x^2}=0\)
on peut ensuite faire apparaître le développement de \(y^2\) quitte à faire des ajouts et retraits :
\(\underbrace{x^2+2+\dfrac{1}{x^2}}_{y^2}-2-13+2\underbrace{\left(x+\dfrac{1}{x}\right)}_{y}=0\)
il te reste à réordonner les termes pour avoir une belle équation du second degré d'inconnue \(y\) que tu résous puis il faudra résoudre l'équation en \(x\).
Je te laisse chercher un peu.
Bonne continuation

[milaapnt]

Bonsoir je ne comprend pas la dernière équation,

[SoS-Math(31)]

Bonjour Milapnt,
On reprend à l'avant dernière équation
x² - 2x - 13 + \(\frac{2}{x}+\frac{1}{x^{2}}\) = 0,

Comme il manque le "2" de l'expression de y², sos-math(21) a utilisé l'astuce suivant pour le faire apparaitre :
A = A + 2 - 2
donc

x² - 2x - 13 + \(\frac{2}{x}+\frac{1}{x^{2}}\) = x² - 2x - 13 + \(\frac{2}{x}+\frac{1}{x^{2}}\)+2-2

Je peux intervertir les termes pour trouver y²

x² + 2 +\(\frac{1}{x^{2}}\)-2- 2x - 13 +\(\frac{2}{x}\).
Ensuite sos-math(21) a mis en facteur 2 pour retrouver 2y.
Bonne continuation.

[milaapnt]

Bonjour, merci je comprend mieux mais comment prouver que y est racine d'un trinôme du second degré

[SoS-Math(31)]

On vient de montrer que puisque x non nul,

x² - 2x - 13 + \(\frac{2}{x}+\frac{1}{x^{2}}\) = y² + 15 + 2y
On reprend à l'avant dernière équation du message de Sos-math(21)
x² - 2x - 13 + \(\frac{2}{x}+\frac{1}{x^{2}}\) = 0 équivaut donc à y² +2y - 15 = 0
y est bien la racine du trinôme A² + 2A - 15 = 0

[mila]

pour la c on calcul le discriminant de l'équation y^2+2y-15=0 pour avoir les solution de E svp

[SoS-Math(31)]

Oui, Mila, pour trouver "y "tu calcules le discriminant du polynôme et ses racines. Ensuite tu en déduis x en utilisant y = x + 1/x.
Bonne continuation.

[Invité]

Oui, Mila, pour trouver "y "tu calcules le discriminant du polynôme et ses racines. Ensuite tu en déduis x en utilisant y = x + 1/x.
Bonne continuation.

est ce que c'est obligatoire de déduire x car jeune sais pas comment faire

[SoS-Math(31)]

Oui, relis l'énoncé : il faut trouver "les solutions de E "
donc les x tels que y = x + 1/x avec y solutions du trinôme

[mille]

Oui, relis l'énoncé : il faut trouver "les solutions de E "
donc les x tels que y = x + 1/x avec y solutions du trinôme

donc après avoir trouver les racines du polynôme je fait comment

[SoS-Math(31)]

y = x + \(\frac{1}{x}= \frac{x²+1}{x}\) donc pour une solution de y trouvée, x sera une racine de x² + 1 - xy = 0 (x non nul)

[mille]

y = x + \(\frac{1}{x}= \frac{x²+1}{x}\) donc pour une solution de y trouvée, x sera une racine de x² + 1 - xy = 0 (x non nul)

Merci

[SoS-Math(7)]

Bonne continuation.