congruences

[kadsos]

Bonjour

Déterminer toutes les valeurs de n qui vérifient :
n=5[11] ET n=4[7]

Première méthode
Avec un tableau : une ligne pour n=5+11k et une ligne pour n=4+7k, je trouve l’entier 60 qui vérifie les deux
congruences.
Donc n=60+11k ou n= 60+7k

Deuxième méthode
Il faut déterminer k.

J’applique modulo 7 à n=5+11k.
Donc n[7]=5+11k[7]=5+4k[7]
et 5+4k[7]=4[7]
donc 5+4k=4
k=-1/4 qui n’est pas un entier, je ne sais pas pourquoi.
Merci pour votre aide.

[SoS-Math(33)]

Bonsoir kadsos,
il n'y a pas de question dans ton sujet.
Cependant pour le premier cas avec ton tableur tu dois trouver plusieurs nombres. Il y a 60, il y a aussi 137 et il faut continuer pour en trouver d'autres.
Par contre c'est n= 60 = 5+5x11 = 4+7x8

Pour le second cas il y a une erreur :
n=5[11] donc n = 5+11k
n=4[7] donc 5+11k = 4[7]
donc 5+4k = 4[7]
donc 5+4k-4 = 0[7]
donc 1+4k = 0[7]
donc pour chaque nombre entier k qui vérifie 1+4k = 0[7] tu peux trouver un nombre n=5+11k = 4[7].
k=5 tu retrouves 60, k=12 tu retrouves 137, puis 19, puis 26 ....
A toi de terminer la rédaction.

[kadsos]

Bonjour SoS-Math(33) et merci pour ta réponse.

Pour le second cas J'ai voulu trouver un entier q qui donne directement le nombre n sans passez par un tableau.
Je m'explique: A partir de ta relation 1+4k =0[7] je l'écris 1+4k = 7k' (k' entier)
ce qui donne 7k'-4k=1 et j'utilise de Bezout car 7 et 4 premiers entre eux.

(-1;-2) est un couple solution puis la calculette donne: k=7q-2 (je sais faire ça à la main)
A chaque valeur de q on a une valeur de n qui vérifie les deux congruences.
Le problème c'est qu'en terminale on utilise plutôt les tableaux de congruences, je pense !

[SoS-Math(7)]

Bonsoir,

Effectivement, on peut procéder ainsi (avec la seconde méthode) et c'est une façon de faire en classe de terminale mais un peu plus tard... Je ne pense pas qu'actuellement le théorème de Gauss ait été vu et sans lui cette façon de faire ne sera pas justifiée.

Ici, je pense que l'idée est d'utiliser le tableur pour conjecturer la forme des solutions puis de démontrer que tous les nombres de cette forme sont bien une solution du système de congruences.

Bonne continuation.

[kadsos]

Bonjour et merci pour la répone.

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Je ne pense pas qu'actuellement le théorème de Gauss ait été vu et sans lui cette façon de faire ne sera pas justifiée.

Le théorème de Gauss est au programme ou à moins que vous voulez dire qu'à ce stade il n'a pas encore été vu.

[SoS-Math(31)]

Bonjour kadsos,
Le théorème de Gauss est au programme de spécialité. Il est effectivement nécessaire pour justifier certaines étapes.
Si vous avez parlé des nombres premiers en ce début d'année tu l'as peut-être déjà vu.
Bonne continuation.

[kadsos]

Bonjour et merci.

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Si vous avez parlé des nombres premiers en ce début d'année tu l'as peut-être déjà vu. 

Je l'ai vu il y a des années de ça.
Je fais les mathématiques et de la physique pour mon plaisir, Je n'ai pas de contraintes comme les scolaires.

[SoS-Math(7)]

Très bien, bonne continuation.