Intégrales
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Re: Intégrales
Bonjour Thomas,
La photo est un peu floue, j'ai du mal à la lire...
La question 1) semble correcte
Pour la question 2 ), il faut établir que \(u_{n+1} -u_n\)est positif strictement, or l'intégrale d'une fonction positive est positive !
Il faut donc expliquer pourquoi : \(\frac{1}{1+x+x^{n+1}}-\frac{1}{1+x+x^{n}}\) est positif
Je te donne le début :
Comme \(x\) appartient à [0 ;1], alors on aura \(x^{n+1} < x^n\) .... je te laisse terminer le raisonnement
à bientôt
La photo est un peu floue, j'ai du mal à la lire...
La question 1) semble correcte
Pour la question 2 ), il faut établir que \(u_{n+1} -u_n\)est positif strictement, or l'intégrale d'une fonction positive est positive !
Il faut donc expliquer pourquoi : \(\frac{1}{1+x+x^{n+1}}-\frac{1}{1+x+x^{n}}\) est positif
Je te donne le début :
Comme \(x\) appartient à [0 ;1], alors on aura \(x^{n+1} < x^n\) .... je te laisse terminer le raisonnement
à bientôt
Re: Intégrales
Bonjour,
Désolé pour ce petit temps d'absence, j'ai réussi à montre que Un est croissante (voir photo) mais je n'arrive pas à montrer qu'elle est majorée.
Comment faire ?
Merci d'avance de vos explications.
Désolé pour ce petit temps d'absence, j'ai réussi à montre que Un est croissante (voir photo) mais je n'arrive pas à montrer qu'elle est majorée.
Comment faire ?
Merci d'avance de vos explications.
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Re: Intégrales
Bonjour Thomas,
As-tu vraiment terminé le raisonnement pour la question 2 ?
Si, comme tu l'as écrit, on avait \(\frac{1}{1+x+x^{n+1}}<\frac{1}{1+x+x^{n}}\) alors la différence sous l'intégrale serait négative et contredirait le résultat attendu.
Ne saute pas les étapes...
Comme on te l'a rappelé, \(x^{n+1}<x^{n}\) puisque \(0\leq x\leq 1\).
Ainsi \(1+x+x^{n+1}<1+x+x^{n}\).
Puis, on "passe à l'inverse", autrement dit, on applique la fonction inverse aux membres de l'inégalité (ce qu'on a le droit de faire puisque les membres sont strictement positifs).
Que devient alors l'inégalité ?
Je te laisse reprendre cela.
Ensuite pour montrer la majoration, on utilise le fait que, comme \(x\geq 0\), \(1+x+x^{n}\geq 1\).
SoSMath
As-tu vraiment terminé le raisonnement pour la question 2 ?
Si, comme tu l'as écrit, on avait \(\frac{1}{1+x+x^{n+1}}<\frac{1}{1+x+x^{n}}\) alors la différence sous l'intégrale serait négative et contredirait le résultat attendu.
Ne saute pas les étapes...
Comme on te l'a rappelé, \(x^{n+1}<x^{n}\) puisque \(0\leq x\leq 1\).
Ainsi \(1+x+x^{n+1}<1+x+x^{n}\).
Puis, on "passe à l'inverse", autrement dit, on applique la fonction inverse aux membres de l'inégalité (ce qu'on a le droit de faire puisque les membres sont strictement positifs).
Que devient alors l'inégalité ?
Je te laisse reprendre cela.
Ensuite pour montrer la majoration, on utilise le fait que, comme \(x\geq 0\), \(1+x+x^{n}\geq 1\).
SoSMath
Re: Intégrales
Bonsoir,
J'ai corrigé mon argumentation, pour montrer que la suite (Un) est croissante.
Cependant, je n'ai pas compris la démarche pour montrer qu'elle est majorée.
Voici ce que j'ai commencé.
A bientôt !
J'ai corrigé mon argumentation, pour montrer que la suite (Un) est croissante.
Cependant, je n'ai pas compris la démarche pour montrer qu'elle est majorée.
Voici ce que j'ai commencé.
A bientôt !
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- Messages : 585
- Enregistré le : lun. 12 oct. 2015 10:32
Re: Intégrales
Bonsoir,
Ton argumentation pour la croissance de la suite me semble incomplète.
Il t'a été dit
Tu dois ensuite écrire qu'alors l'intégrale de cette expression positive est donc aussi positive.
Ensuite pour la majoration, on procède de la même manière, tu justifies que \(1-\frac{1}{1+x+x^{n}}\geq 0\).
Puis tu utilises la même propriété qu'au-dessus : l'intégrale d'une fonction positive est positive.
Ainsi \(\int_{0}^{1}1-\frac{1}{1+x+x^{n}}dx\geq 0\).
La propriété de linéarité de l'intégrale donne alors \(\int_{0}^{1}1dx - \int_{0}^{1}\frac{1}{1+x+x^{n}}dx\geq 0\).
Je te laisse finir.
SoSMath
Ton argumentation pour la croissance de la suite me semble incomplète.
Il t'a été dit
Tu as vu comment l'on justifiait \(\frac{1}{1+x+x^{n+1}}-\frac{1}{1+x+x^{n}}\) est positif.sos-math(27) a écrit : Pour la question 2 ), il faut établir que \(u_{n+1} -u_n\)est positif strictement, or l'intégrale d'une fonction positive est positive !
Il faut donc expliquer pourquoi : \(\frac{1}{1+x+x^{n+1}}-\frac{1}{1+x+x^{n}}\) est positif
Tu dois ensuite écrire qu'alors l'intégrale de cette expression positive est donc aussi positive.
Ensuite pour la majoration, on procède de la même manière, tu justifies que \(1-\frac{1}{1+x+x^{n}}\geq 0\).
Puis tu utilises la même propriété qu'au-dessus : l'intégrale d'une fonction positive est positive.
Ainsi \(\int_{0}^{1}1-\frac{1}{1+x+x^{n}}dx\geq 0\).
La propriété de linéarité de l'intégrale donne alors \(\int_{0}^{1}1dx - \int_{0}^{1}\frac{1}{1+x+x^{n}}dx\geq 0\).
Je te laisse finir.
SoSMath
Re: Intégrales
Bonsoir,
Faut-il faire cette démarche, pour montrer que la suite est majorée.
Je pense qu'elle est un peu courte ...
Faut-il faire cette démarche, pour montrer que la suite est majorée.
Je pense qu'elle est un peu courte ...
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- Enregistré le : lun. 12 oct. 2015 10:32
Re: Intégrales
Avant de considérer l'intégrale, peux tu justifier que \(1-\frac{1}{1+x+x^{n}}\geq 0\) ?
SoSMath
SoSMath
Re: Intégrales
Désolé, mais je ne vois pas comment justifier cela ...
Pouvez-vous me donner une piste ?
Pouvez-vous me donner une piste ?
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- Enregistré le : ven. 25 nov. 2016 14:24
Re: Intégrales
Bonjour Thomas,
sur [0 ; 1] \(x \geq 1\) donc \(x^n \geq 1\) ainsi tu peux dire que \(1+ x+ x^n \geq 1\)
je te laisse poursuivre
sur [0 ; 1] \(x \geq 1\) donc \(x^n \geq 1\) ainsi tu peux dire que \(1+ x+ x^n \geq 1\)
je te laisse poursuivre
Re: Intégrales
Bonjour,
J'ai réussi à démontrer votre dernière remarque, cependant je n'arrive pas à continuer ...
J'ai réussi à démontrer votre dernière remarque, cependant je n'arrive pas à continuer ...
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- Messages : 599
- Enregistré le : ven. 17 nov. 2017 09:31
Re: Intégrales
Bonsoir Thomas,
Le début de ton calcul est juste. A la dernière ligne par contre , il manque l'inégalité...
Calcule alors la première intégrale...
Pour rappel, A - B > 0 équivaut à A > B.
Bonne recherche
Sosmaths
Le début de ton calcul est juste. A la dernière ligne par contre , il manque l'inégalité...
Calcule alors la première intégrale...
Pour rappel, A - B > 0 équivaut à A > B.
Bonne recherche
Sosmaths
Re: Intégrales
Bonjour,
Je pense avoir suivi vos conseils, mais je n'arrive pas à répondre la question 3.
Pouvez-vous m'aider.
Merci d'avance.
Je pense avoir suivi vos conseils, mais je n'arrive pas à répondre la question 3.
Pouvez-vous m'aider.
Merci d'avance.
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- Messages : 599
- Enregistré le : ven. 17 nov. 2017 09:31
Re: Intégrales
Bonjour Thomas,
Il y a plusieurs façons d'écrire ln 2 sous forme d'une intégrale. Celle que tu as choisi est correcte mais ne va pas te permettre d'avancer.
Rester sur l'intervalle [0;1] est la bonne piste.
Maintenant, il faudrait intégrer une fonction h dont l'expression h(x) est "proche" de 1/(1+x+x^n) mais indépendante de n (puisque ln 2 ne dépend pas de n)...
Je te laisse y réfléchir,
Bonne recherche
Sosmaths
Il y a plusieurs façons d'écrire ln 2 sous forme d'une intégrale. Celle que tu as choisi est correcte mais ne va pas te permettre d'avancer.
Rester sur l'intervalle [0;1] est la bonne piste.
Maintenant, il faudrait intégrer une fonction h dont l'expression h(x) est "proche" de 1/(1+x+x^n) mais indépendante de n (puisque ln 2 ne dépend pas de n)...
Je te laisse y réfléchir,
Bonne recherche
Sosmaths
Re: Intégrales
Bonjour,
J'ai essayé de suivre vos remarques, mais je n'ai pas pu finir. Je n'ai pas trouvé la limite et je ne suis pas sûr pour mon expression.
Qu'en pensez-vous ?
Merci d'avance de vos nouvelles explications.
J'ai essayé de suivre vos remarques, mais je n'ai pas pu finir. Je n'ai pas trouvé la limite et je ne suis pas sûr pour mon expression.
Qu'en pensez-vous ?
Merci d'avance de vos nouvelles explications.
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- Enregistré le : ven. 17 nov. 2017 09:31
Re: Intégrales
Cette dernière étape est difficile car on ne connaît pas de primitive de la fonction h située sous le symbole intégrale.
Il faut donc procéder différemment, en trouvant une fonction plus simple à laquelle se raccrocher.
la valeur absolue de ton intégrale est inférieur ou égale à l'intégrale de la valeur absolue de h(x).
Il te reste à majorer h(x), pour cela, vu que x est dans l'intervalle [0;1], je te propose de minorer le dénominateur
(1+x)(1+x+x^n).
Bonne recherche
sosmaths
Il faut donc procéder différemment, en trouvant une fonction plus simple à laquelle se raccrocher.
la valeur absolue de ton intégrale est inférieur ou égale à l'intégrale de la valeur absolue de h(x).
Il te reste à majorer h(x), pour cela, vu que x est dans l'intervalle [0;1], je te propose de minorer le dénominateur
(1+x)(1+x+x^n).
Bonne recherche
sosmaths