Matrices

[Maxime]

Bonjour,

Voici un petit exercice de révision portant sur les matrices.

Un réseau comprend trois pages A, B et C.
Les liens sont indiquées dans le graphe.
Un employé navigue de façon aléatoire.
A chaque clic il choisit de façon équiprobable un des liens.
Apres \(n\) clics, on note \(X_n\) la variable aléatoire donnant la page sur laquelle se trouve l’employé et \(P_n\) la matrice ligne \((p(X_n=A) p(X_n=B) p(X_n=C))\).

Ecrire la matrice \(M\) telle que \(P_{n+1}=P_nM\), en déduire une relation entre \(P_n\), \(M\) et \(P_0\).

Pouvez-vous m'aider à répondre à cette première question s'il vous plaît ?

Paradoxalement je ne parviens pas à établir l'arbre... alors que j'y arrive d'habitude.

[sos-math(21)]

Bonjour,
il va être difficile de t'aider sans le graphe de la situation.
Avec le graphe probabiliste fourni, tu peux déjà construire la matrice de transition \(M\) :

Une fois que tu as la matrice de transition, tu en déduis la relation générale issue du cours : comme \(P_{n+1}=P_n\times M\) tu obtiendras alors que pour tout entier naturel \(n\) \(P_n=P_0\times M^n\).
C'est tout ce que je peux dire pour l'instant

[Maxime]

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Bonjour,

Vous trouverez ci-joint le graphe schématisant la situation.

J'ai pas mal avancé sur l'exercice, les questions 1 à 3 sont terminées. Je fini la 4).

1) Ecrire la matrice \(M\) telle que \(P_{n+1}=P_nM\), en déduire une relation entre \(P_n\), \(M\) et \(P_0\).

2) a) Soit \(Q=\begin{pmatrix}1&1&2\\ 1&1&-4\\ 1&-2&4\\ \end{pmatrix}\).

Calculer \(H=Q^{-1}MQ\) et montrer que \(H=D+T\) où \(D=\begin{pmatrix}1&0&0\\ 0&-0,5&0\\ 0&0&-0,5\\ \end{pmatrix}\) et \(T=\begin{pmatrix}0&0&0\\ 0&0&1\\ 0&0&0\\ \end{pmatrix}\).

2) b) Montrer que pour tout \(n \geq 1\) on a \(D^nT=(-0,5)^nT.\)

3) Montrer que pour tout \(n \ge 1\) on a \(H^n=D^n+n(-0,5)^{n-1}T\).

4) Exprimer \(P_n\) en fonction de \(n\).

\(P_n=P_0 \times M^n\)
\(P_n=P_0 \times (QH^nQ^{-1})\)
\(P_n=P_0 \times (Q(D+T)^nQ^{-1})\)
\(P_n=P_0 \times (Q.(D^n+n(-0.5)^{n-1}\,T).Q^{-1})\)

Je développe pour avoir \(P_n\) en fonction de \(n\) c'est bien ça ?

[Maxime]

Je trouve :

\(M^n=\begin{pmatrix}\dfrac{2}{9}-\dfrac{3n-7}{9}\,(-0.5)^n&\dfrac{4}{9}+\dfrac{3n-4}{9}\,(-0.5)^n&\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{3}\,(-0.5)^n\\\\\dfrac{2}{9}-\dfrac{3n+2}{9}\,(-0.5)^n&\dfrac{4}{9}+\dfrac{3n+5}{9}\,(-0.5)^n&\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{3}\,(-0.5)^n\\\\\dfrac{2}{9}+\dfrac{6n-2}{9}\,(-0.5)^n&\dfrac{4}{9}-\dfrac{6n+4}{9}\,(-0.5)^n&\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3}\,(-0.5)^n\\\end{pmatrix}\)

De plus,

La suite \((P_n)\) ne dépend pas de l'état initial \(P_0\).

\(\lim_{n\to +\infty} M^n =\) \(M_{\infty}=\begin{pmatrix}\dfrac{2}{9}&\dfrac{4}{9}&\dfrac{1}{3}\\\\\dfrac{2}{9}&\dfrac{4}{9}&\dfrac{1}{3}\\\\\dfrac{2}{9}&\dfrac{4}{9}&\dfrac{1}{3}\end{pmatrix}\)

\(\lim_{n\to +\infty} P_n=\)\(P_0M_{\infty}=\begin{pmatrix}\dfrac{2}{9}&\dfrac{4}{9}&\dfrac{1}{3}\end{pmatrix}\)

« quelle page web sera atteinte avec la plus grande probabilité après un grand nombre de clics ? »

C'est la B avec une probabilité de 4/9 !

[Maxime]

Y a-t-il quelqu'un ?

[sos-math(21)]

Bonjour,
cet exercice me semble difficile pour des terminale ES....
Sur ta figure, je n'ai aucun coefficient ce qui ne me permet pas de vérifier les coefficients de ta matrice et tes calculs qui en découlent...
En ce qui concerne la démarche pour les questions suivante, cela me paraît correct.
Peux tu donner l'énoncé exact ? Cela me facilitera le travail d'accompagnement,
À bientôt

[Maxime]

Tout a été donné ci-dessus !

[SoS-Math(31)]

Bonsoir Maxime, la première ligne de ta matrice M^n semble juste. Par contre, La convergence de Pn vers l'état stable S est indépendant de P0 mais S dépend de P0.
!

[Maxime]

Oui, ça j'ai compris.

Du coup, mon raisonnement est correct ?

[SoS-Math(31)]

OUi, Ton raisonnement est bon.

[Maxime]

Juste une dernière question

Afin de justifier correctement que « justifier qu'elle ne dépend pas de l'état initial », ce que j'ai écrit suffit ? Que faut-il rajouter/compléter éventuellement ?

[SoS-Math(7)]

Bonsoir Maxime,

Il faut être rigoureux mais ce que tu as écrit est suffisant. \(P_n\) dépend de \(P_0\) mais la limite est indépendante de l'état initial.

Bonne continuation.

[sos-math(21)]

Bonjour,
je suis désolé mais "tout n'a pas été donné ci-dessus" : ton graphe ne contient aucun coefficient et je ne vois pas la matrice M sauf lorsqu'elle est à la puissance \(n\).
Je ne vois donc pas comment vérifier ton travail ou alors quelque chose m'échappe.
Enfin si tu as réussi, c'est l'essentiel.
Bonne continuation

[Maxime]

Bonjour,

Vous avez raison, il s'agit de la réponse à la question n°1.

\(M=\begin{pmatrix}0&0,5&0,5\\ 0,5&0&0,5\\ 0&1&0\\ \end{pmatrix}\)

Bonne journée.

Maxime.

[SoS-Math(7)]

A bientôt sur SoS math