Suites et limites

[Thomas]

Bonsoir,

Je fais un exercice et je bloque sur la dernière question. Sachant que ma photo n'est pas très lisible, pour la question j'ai fait Pn+1/Pn et je n'arrive pas à simplifier pour trouver une constante ...
Voici les photos.

A bientôt !

[SoS-Math(33)]

Bonsoir Thomas,
tu dois chercher trop compliquer pour simplifier.
Le quotient est de la forme \(\large\frac{a^{n+1}b^{n+1}}{a^nb^n}\) ce qui est égal à \(ab\)
A toi de reprendre ton exercice.

[Thomas]

Bonjour,

Je pense avoir fini l'exercice mais je ne suis pas sûr de ma réponse pour la dernière question. Qu'en pensez-vous.

A bientôt !

[SoS-Math(33)]

Ce que tu as fait est correct,
la suite est géométrique de raison q telle que -1<q<1 donc elle converge vers 0.

[Thomas]

Bonjour,

Je fais un nouvel exercice, et je ne suis pas sûr de mes réponses, surtout pour l’algorithme.
Qu'en pensez vous ?

A bientôt !

[SoS-Math(33)]

Bonjour,
pour la question 1) ce que tu fais est correct sauf qu'à aucun moment tu as justifié que la fonction f était croissante car si elle st décroissante tu ne peux pas obtenir le résultat.

Pour l'algorithme à la ligne u<--- il faut affecter la nouvelle valeur qui est calculée à savoir 3-4/(U+1)

[Thomas]

Bonjour,

Désolé mais je ne comprends pas vos explications, la suite est bien décroissante. De même je ne comprends pas pour l'algorithme.
Merci d'avance pour vos nouvelles explications.

A bientôt.

[SoS-Math(33)]

Tu utilises la fonction f pour passer de \(U_n\) à \(U_{n+1}\) ce qui est correct.
Cependant tu dois savoir que :
si f est croissante et si a<b alors f(a)<f(b) mais si f est décroissante et si a<b alors f(a)>f(b) donc il te faut justifier que la fonction est bien croissante.
Pour l'algorithme : à chaque étape tu affectes à la variable U le calcul de la nouvelle valeur du terme de la suite

[Thomas]

Bonsoir,

Je comprends vos explications mais on nous demande d'étudier les variations de Un, pas de la fonction !
Pour l'algorithme, il faut mettre U --> N +1 ?

Merci de votre aide.
A bientôt

[sos-math(21)]

Bonjour,
ta suite est donnée par \(u_{n+1}=3-\dfrac{4}{u_{n}+1}\), c'est-à-dire qu'elle est donnée par une relation de récurrence de la forme \(u_{n+1}=f(u_n)\) où \(f(x)=3-\dfrac{4}{x+1}\), c'est ce qui explique la proposition de mon collègue d'étudier les variations de \(f\) pour connaître les variations de \((u_n)\).
Cela te permettra de répondre à la question 2 puis à la question 3.
Pour l'algorithme, il faut que U (qui contient successivement les valeurs de \(u_n\)) reçoive la valeur équivalente au rang d'après c'est-à-dire \(f(U)\).
Bonne continuation

[Thomas]

Bonjour,

Je comprends vos explications, mais pourquoi l'on nous demande de faire une récurrence à la question 1, pour qu'elle ne nous serve à rien à la question 2 ?
Je vous redonne l'exercice.

Merci d'avance de votre aide !
A bientôt !

[SoS-Math(33)]

Bonjour Thomas,
les remarques qui sont faites le sont par rapport à ton choix de résolution de l'exercice.
Tu comprends bien que quand tu passes de \(U_n \leq U_{n-1}\) à \(f(U_n) \leq f(U_{n-1})\) ceci n'est vrai que si la fonction \(f\) est croissante.
Peut être il y a une autre solution.
1)Tu peux montrer par récurrence que \(1 \leq U_n\)
2)Puis calculer \(U_{n+1}-U_n\) et montrer que c'est \(\leq0\)
3)Et enfin montrer par récurrence que Tu peux montrer par récurrence que \(U_n\leq 4\)

Pour le 1)
\(1 \leq U_n\)

\(2 \leq U_n+1\)

\(\frac{2}{4} \leq \frac{U_n+1}{4}\)

\(\frac{4}{2} \geq \frac{4}{U_n+1}\)

\(3-2 \leq 3-\frac{4}{U_n+1}\)

\(1 \leq U_{n+1}\)
Ensuite pour le 2) tu auras besoin de ce résultat
Voilà c'est une autre solution sans étudier les variations de \(f\)

[Thomas]

Donc,si je comprends bien on doit trouver cela pour l'exercice.

[SoS-Math(30)]

Bonjour Thomas,

J'ai relu toutes les indications qui t'ont été proposées ainsi que ta dernière réponse.
Il semble que tu n'aies pas tenu compte de la remarque qui t'a été faite plusieurs fois que je te renouvelle : la rédaction de la réponse à la question 1 est correcte à condition que tu justifies que la fonction f est croissante sur l'intervalle [1 ; 4]
Lorsque tu écris \(1\leqslant u_{p+1}\leqslant u_{p }\leqslant4\), puis \(f(1)\leqslant f(u_{p+1})\leqslant f(u_{p })\leqslant f(4)\).
Cela est vrai si f est croissante sur [1;4] ce qui mérite d'être justifié !
Ensuite, pour obtenir \(1\leqslant f(u_{p+1})\leqslant f(u_{p })\leqslant 4\), il faudrait aussi calculer f(1) et f(4) pour le justifier.

Enfin, pour la question 2, comme cela est suggéré dans la formulation de la question "en déduire", il n'y a rien à rajouter pour justifier la monotonie de la suite : cela est prouvé à la question 1. Par contre, on n'a pas prouvé que la suite était croissante mais décroissante !

Peut-être fais tu une confusion entre les variations de la fonction f et celles de la suite ?
La fonction f est croissante alors que la suite est décroissante. Est-ce cela qui te perturbe ?
Le fait que la fonction f soit croissante signifie qu'elle conserve l'ordre. Comme les deux premiers termes de la suite sont rangés dans l'ordre décroissant : \(u_{0}\geq u_{1}\), cet ordre décroissant va "se transmettre" grâce à la fonction f qui conserve cet ordre décroissant.

En espérant avoir pu t'aider à clarifier ton problème.

SoSMath

[Thomas]

Bonsoir,

Merci pour vos explications, je pense avoir enfin compris, sauf pour l’algorithme. Pouvez-vous m'expliquer ?

A bientôt !