inerse de matrices

[Cédric]

Bonjour,
le produit de deux matrices AB est-il inversible SI ET SEULEMENT SI A et B sont inversibles ?
J'arrive juste à montrer l'implication A et B inversible alors AB inversible mais pas la réciproque !
Merci pour votre aide,
C.

[SoS-Math(34)]

Bonjour,

Pour l'implication réciproque
AB est inversible équivaut à dire qu'il existe une matrice carrée Q telle que ABQ = QAB = I où I est la matrice identité.
Il me semble que tu peux alors en déduire que A est inversible : quelle est alors sa matrice inverse ?
et pour B?

Bonne recherche
Sosmaths

[CIRDEC]

Rebonjour,
la matrice inverse de A est donc BQ mais suffit-il d'avoir prouvé que A est inversible à droite ?
Idem pour la matrice inverse de B qui est QA (suffit-il d'avoir prouvé que B est inversible à gauche ?
C.

[SoS-Math(31)]

Bonjour CIRDEC,
Si C est telle que AC = Id alors en multipliant par C à gauche CA C = C donc (CA - I) C = 0 Comme C non nulle CA - I = 0 donc CA = I. Donc A est bien inversible à gauche aussi.

[CIRDEC]

Bonsoir,
mais êtes-vous sûr que AB=0 implique A=0 ou B=0 ?
je pensais que c'était faux pour les matrices.
merci
C.

[SoS-Math(7)]

Bonsoir,

Effectivement, cette implication est fausse pour les matrices. Par contre, pour les matrices carrées de rang \(n\), une matrice inversible à droite est inversible à gauche et est donc inversible.
Tu as la propriété suivante : Si \(AB=I_n\) alors \(A\) et \(B\) sont inversibles avec \(A^{-1}=B\) et \(B^{-1}=A\).
En dimension finie, démontrer qu'une matrice est inversible revient à démontrer qu'elle est inversible à droite ou qu'elle est inversible à gauche.

Bonne continuation.