Calcul d'aire

[SoS-Math(1)]

Tant mieux,
Regardez la figure sur laquelle j'ai zoomé.
Vous voyez que la fonction est continue et strictement croissante, que \(f(0,35)<0\), que \(f(0,36)>0\), donc il existe \(\alpha~\in~]0,35;0,36[\) tel que \(f(\alpha~)=0\).
Bon courage.

[Invité]

Oui, la courbe se coupe avec l'axe des abscisses..

Cécile

[SoS-Math(1)]

Bonjour Cécile,
Ce qui signifie qu'il existe un unique nombre \(\alpha~\in~]0,35;0,36[\) tel que \(f(\alpha~)=0\).
Peut-on clore ce sujet maintenant, Cécile?
Cordialement.

[Invité]

Enfait je n'ai pas fini mais dans ce cas j'aimerai savoir comment trouvé alpha pour continuer moi meme la suite..
Merci, Cécile

[SoS-Math(1)]

Cécile,
On ne peut pas trouver \(\alpha\).
Par contre on peut s'en approcher aussi près que l'on veut.
Il suffit de calculer \(f(0,351)\), \(f(0,352)\), \(f(0,353)\), etc..., \(f(0,359)\) et de regarder lorsque cela change de signe.
SoS-Math(1).

[Invité]

Alors une dernière question s'il vous plaît,

Comment je pourrais dans ce cas demontrer que f(alpha)= alpha(1+2\(\e^{alpha}\))

Cécile

[SoS-Math(1)]

Cécile,
Etes-vous sûre de votre égalité à démontrer?
Est-ce bien \(f(\alpha~)=\alpha~(1+2e^{\alpha~})\)?
SoS-Math(1).

[Invité]

Non désolé il manque un signe moins,\(f(\alpha~)=\alpha~(1+2e^{-\alpha~})\)

Cécile

[sos-math(13)]

Bonjour Cécile,

je reprends le fil du message. Je vais essayer de récapituler les informations, mais vu la longueur, j'ai pu comprendre de travers.

On a :
\(f(x)=x-1+(x^2+2)e^{-x}\)
par ailleurs :
\(g(x)=f'(x)=1-(x^2-2x+2)e^{-x}\)
On a défini \(\alpha\) par la relation \(g(\alpha)=0\) et on a montré que \(\alpha\) était unique et que \(0,35<\alpha<0,36\)
On a recherché une valeur de \(\alpha\) un peu plus précise (peu importe la méthode, que ce soit par dichotomie, par tabulation, par Newton, et/ou à l'aide de la calculatrice, qui nous fait ça très facilement).
L'intérêt est que \(g(\alpha)=0\) donc que \(1-(\alpha^2-2\alpha+2)e^{-alpha}=0\) (Équation E)
Cela devrait te permettre d'arriver à exprimer \(f(\alpha)\) en fonction de \(\alpha\) tu remarques que l'équation E contient une écriture assez similaire à l'écriture de \(f(\alpha)\).

Bon courage, et signale-moi si j'ai mal résumé le fil de la discussion.

[Invité]

Bonjour

Enfait, je n'avions pas à calculer f'(x) mais g(x) est bien égal à g(x)= 1-(\(\x^{2}-2x+2)\e^{-x}\)

Par la suite nous avons admis la solution unique alpha compris entre 0,35 et 0,36.

Comme là je cherche à demontrer que f(x)= alpha (1+2\(\e^{-alpha}\)), à l'aide de votre aide j'aarive à ce ceci:

f(alpha) = alpha -1 + ( \(\alpha^{2}\)+2)\(\e^{-alpha}\) (1)
ainsi que : 2 alpha \(\e^{-alpha}\) = -1 + \(\alpha^{2}\).\(\e^{-alpha}\)+2\(\e^{-alpha}\) (2)

Je vois qu'il y a un alpha en plus dans la première équation et que sinon le reste est identique, serait-il possible d'écrire f(alpha)= alpha + 2 alpha.\(\e^{-alpha}\) ? ma démonstration serait fini non (après avoir mis alpha en facteur commun)?

[SoS-Math(11)]

Bonjour,

C'est exact, pense à simplifier par \(e^x\) puis à réduire le numérateur.
Bonne fin d'exercice

[Invité]

Bonjour,

J'aurai une 2 question à vous poser car je n'arrive pas la fin.

Il m'est demandé de calculer en fonction de alpha, l'aire A en cm² du domaine limité par Cf (de f(x)= x-1+(\(\x^{2}+2)\e^{-x}\)), DELTA (asymptote y=x-1) et les droites x= -alpha et x=0

Je ne vois pas comment il faudrait procéder !

Merci, Cécile

[SoS-Math(11)]

Bonsoir,

Je réponds ce soir car ton message est resté longtemps sans réponse, je n'ai pas suivi tout le déroulement du problème, je ne vois que la fin. J'espère que tu as appris à calculer une primitive d'une fonction continue ainsi que l'aire située sous la courbe représentant une fonction.
Brièvement si f est une fonction définie sur [a, b] et si F est une primitive de f alors l'aire située entre les droites d'équations x = a ; x = b ; sous la courbe et au-dessus de l'axe des abscisses est égale à F(b) - F(a).
Pour l'aire située entre deux fonctions f et g tu appliques la propriété précédente à f - g si f > g ou à g - f si g > f.
Pour ton problème tu appliques la propriété à : \((x^2 + 2)e^{-x}\) ; il te faut chercher une primitive de cette fonction sous la forme \(F(x) = (ax^2 + bx + c)e^{-x}\). Dérive F et identifie F'(x) avec \((x^2 + 2)e^{-x}\) ce qui te permet de déterminer a, b et c. Puis déduis-en l'aire.
Bonne continuation et bon courage.