Divers, term S

[Invité]

Bonjour, il s'agit d'un énoncé d'exercice, je bloque dés la première question et je vous serait reconnaissante de bien vouloir me donner une piste.
"Déterminer 3 réels a, b et c tels que pour tout x \(\in\) ]0;+inf[ :
\(\frac{1}{x(1+x)^2}\) = \(\frac{a}{x}\)+\(\frac{b}{1+x}\)+\(\frac{c}{(1+x)^2}\) "



et dans un autre exercice je ne parvient pas à calculer l'intégrale de \(\frac{1}{n}\)-\(\frac{c}{n^2}\)

Merci encore, Julie.

[SoS-Math(1)]

Bonjour Julie,
Peut-être pouvez-vous tout réduire au même dénominateur?
\(\frac{a}{x}+\frac{b}{1+x}+\frac{c}{(1+x)^2}=\frac{a(1+x)^2+bx(1+x)+cx}{x(1+x)^2}\).
On peut ensuite chercher a, b et c tel que \(a(1+x)^2+bx(1+x)+cx=1\).
Bon courage.

[Invité]

Bonsoir,
Oui, j'avais déjà essayé et j'avais trouvé a=1 , b=(-1) et c=(-1) mais ce ne sont que des hypothèses , n'y a-t-il pas de méthode pour prouver cela ?

ensuite avez vous des conseils pour calculer l'intégrale de \(\frac{1}{n}-\frac{x}{n^2}\) svp car il s'agit d'un autre exercice et sans cela je ne peux pas continuer.

Merci beaucoup de vous déranger pour ça en plein week-end !
Julie

[sos-math(13)]

Bonjour Julie,

Tu peux trouver les valeurs de a, b et c sans hésitation.

Quand on identifie les deux numérateurs, on dit qu'ils doivent être égaux quelle que soit la valeur de \(x\).
Cela signifie donc qu'ils doivent être égaux en tant que polynômes.
Donc leurs coefficients de \(x^2\) doivent être les mêmes : 1ère équation
leurs coefficients de \(x\) doivent être les mêmes : 2ème équation
leurs coefficients constants doivent être les mêmes : 3ème équation

Tu obtiens un système de 3 équations à 3 inconnues, qui est en fait assez simple à résoudre.

En ce qui concerne ta deuxième question, si \(x\) est la variable et \(n\) un paramètre, alors l'intégrale est très simple à calculer car \(\frac{1}{n}\) est une constante, et \(\frac{x}{n^2}\) peut être vu comme \(\frac{1}{n^2}\times{x}\) où \(\frac{1}{n^2}\) est une constante.

Bon courage.

[sos-math(13)]

Ah, j'oubliais une petite précision :
\(1=0x^2+0x+1\)

[Invité]

je m'immisce dans le sujet car je fais quelques révisions.
Je trouve a = 1 ; b = -1 ; c = 0 -> exact ?
merci
Christophe

[SoS-Math(1)]

Bonjour,
Pour ma part, je trouve \(a=1\qquad~b=-1\qquad~c=-1\).
Bon courage.

[Invité]

ah bon ?
j'expose mon travail :
x²(a+b)+x(a+b+c)+a=1

d'où a=1
a+b = 0 => 1+b=0 <=> b=-1
a+b+c = 0 avec a+b = 0 => 0+c=0 et donc c=0

et donc a=1
b=-1
c=0

non ?
Christophe

[SoS-Math(7)]

Bonjour Christophe,

Vous avez commis une erreur lors de votre développement. On trouve : x²(a+b)+x(2a+b+c)+a=1

La suite du travail est cohérente. Avec cette rectification, la solution est bien,\(a=1\qquad~b=-1\qquad~c=-1\).

A bientôt

[Invité]

effectivement, je retrouve après vos résultats. Merci

[SoS-Math(7)]

A bientôt sur SOS Math