proportionnalité

[Invité]

Bonsoir,
une question qui va peut-être vous sembler bizarre :
cette équivalence est-elle juste :
deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées sont proportionnelles

ou faut-il écrire :

deux vecteurs NON NULS sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées sont proportionnelles
MERCI pour votre confirmation,
Cédric

[sos-math(13)]

Bonsoir,

le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur. Donc rajouter "NON NULS" ne convient pas, puisque tu n'a pas l'implication réciproque.

à bientôt.

[Invité]

Bonjour,
je suis d'accord avec vous mais cela signifie-t-il que les coordonnées (0,0) sont proportionnelles à (3,5) par exemple?
Je pensais que pour les coordonnées étaient proportionnelles, comme (-6;-10) et (3;6), on passe des unes aux autres en multipliant par un réel NON NUL. Il me semblait qu'un tableau est un tableau de proportionnalité si l'on passe de la première ligne à la deuxième en multipliant par un réel NON NUL (mon interrogation vient de ce point ).
Peut-être ai-je mal saisi la notion de proportionnalité ?
Merci
Cordialement,
Cédric

[SoS-Math(1)]

Bonjour Cédric,
Pour répondre à votre interrogation:
\(3\times~\frac{5}{3}=5\) et \(0\times~\frac{5}{3}=0\).
Il n'y a donc aucun souci: "on passe bien de la première ligne à la deuxième ligne en multipliant par \(\frac{5}{3}\)".
Bon courage.

[Invité]

Bonjour,
en résumé, si j'ai bien compris, dans un tableau à 2 lignes et deux colonnes, par exemple, s'il existe un réel k non nul pour passer de la première ligne à la deuxième ligne (en mulipliant par k) OU pour passer de la première colonne à la deuxième colonne alors il s'agit d'un tableau de proportionnalité :
Ainsi 0 3 est un tableau de proportionnalité même s'il n'existe pas de réel non nul pour
0 5 passer de la première colonne à la deuxième colonne mais le fait qu'il existe un
réel non (à savoir 5/3) pour passer de la première ligne à la deuxième ligne, il s'agit bien d'un tableau de proportionnalité et il en serait de même pour
0 0
3 5 où l'on passe de la première colonne à la deuxième colonne en multipliant par un réel non nul alors qu'il n'existe pas de réel permettant de passer de la première ligne à la deuxième ligne.
En résumé, les coordonnées (0;0) sont proportionnelles aux coordonnées (3;5)
Merci pour votre ultime confirmation.
Cordialement,
Cédric

[sos-math(13)]

Bonjour,

tu fais bien compliqué pour quelque chose qui est très simple.

Wikipédia donne :

On dit que deux mesures sont proportionnelles quand on peut passer de l'une à l'autre en multipliant ou en divisant par une même constante. Dans le cas où l'on multiplie, cette constante est appelée coefficient de proportionnalité.

Ainsi, je peux, dans le tableau :
\(\begin{tabular}{|l|c|c|} \hline x&0&3\\ \hline y&0&5\\ \hline \end{tabular}\)

multiplier les \(x\) par \(\frac{5}{3}\) pour trouver les \(y\).
Donc c'est un tableau de proportionnalité.

Mais ce que tu dis est vrai, à savoir que dans le cas d'un tableau \(2\times{2}\), il y aura aussi proportionnalité entre les colonnes s'il y a proportionnalité entre les lignes. Cependant, cela ne sert à rien, donc on n'en parle généralement pas.

à bientôt.

[Invité]

Bonjour,
si j'ai bien compris, d'après la définition de Wikipédia, la constante peut être NULLE.
ET puis, si on a :
x 0 0
y 3 5 je voulais dire qu'on ne peut pas passer de x à y par multiplication ou division par un nombre ! Et pourtant, si je vous ai bien compris, x et y sont tout de même proportionnels.

En résumé : il suffit qu'il existe une ligne qui est obtenue par multiplication de l'autre ligne par une constante (qui peut être nulle) pour que les deux lignes soient proportionnelles.
Merci.
Cordialement,
Cédric

[sos-math(13)]

Bonjour,

dans l'unique cas où une ligne est constituée de zéro, effectivement, il n'y aura pas de coefficient permettant de "revenir en arrière". Mais bon, ce cas est particulier et peut être traité très simplement. Dans le cas général, si un coefficient \(a\) non nul permet d'établir une relation de proportionnalité de la ligne \(L_1\) vers la ligne \(L_2\), alors il existe un coefficient de proportionnalité permettant d'établir une relation de proportionnalité de \(L_2\) vers \(L_1\), et ce coefficient vaut : \(\frac{1}{a}\).

à bientôt.

[Invité]

Merci
Pour finir et ne plus vous embêter avec ce problème de proportionnalité qui a priori n'en est pas vraiment un, pourriez-vous simplement me confirmer le fait que
si x 0 0
y 3 5 alors x et y sont bien aussi proportionnels car 3*0 = 0 et 5*0 =0 (même si le nombre par lequel on multiplie y pour obtenir x est nul).
De plus, je pourrai donc écrire :
deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées sont proportionnelles.
Merci beaucoup,
cordialement,
Cédric

[SoS-Math(7)]

Bonsoir Cédric,

Votre proposition est juste. Dans ce cas, vous avez une relation de proportionnalité de la ligne \(L_1\) vers la ligne \(L_2\) mais la réciproque est fausse, il n'y a pas de relation de proportionnalité de \(L_2\) vers \(L_1\).

Bonne continuation !

[Invité]

Bonjour,
merci d'avoir confirmé ma proposition.
Par ailleurs, il y a toujours quelque chose qui me chagrine :
le fait qu'on puisse dire que L1 et L2 soient proportionnels (tout court) alors qu'en réalité ça peut dépendre du sens...(en utilisant le cas particulier précédent et votre réponse).
Merci pour tout,
Cordialement,
Cédric

[SoS-Math(7)]

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