démonstrations de l'égalité (E)

[Invité]

Bonjour
J'ai quelques soucis pour faire cet exo, voici l'énoncé et mes réponses :

1) n est un entier \(\geq\) 4 et p désigne un entier tel que 2\(\leq\) p \(\leq\)
A l'aide de factorielles les nombres suivants : (n-2 p) ; (n-2 p-1) ; (n-2 p-2) ; (n p)
établir l'égalité (E) : (n-2 p) + 2 (n-2 p-1) + (n-2 p-2) = (n p)
----> donc : (n-2 p) = (n-2)!/p!(n-2-p)! ; (n-2 p-1) = (n-2)!/(p-1)!(n-p-1)! ; (n-2 p-2) = (n-2)!/(p-2)!(n-p)! ; (n p)= n!/p!(n-p)!
et (n-2)!/p!(n-2-p)! + 2 [(n-2)!/(p-1)!(n-p-1)!] + (n-2)!/(p-2)!(n-p)!
= ((n-2)![(n-p)(n-p-1)+(n-2)!p(n-p)+(n-2)!p(p-1)] ) / (p! (n-p)!) après avoir mis sous le même dénominateur et factorisé par (n-2)! mais je n'arrive pas à trouver au numérateur n! pour avoir l'égalité (E)

2) rappel formule : (N P) + (N P+1) = (N+1 P+1)
utiliser 3 fois la formule pour écrire une autre démonstration de (E)
---->honnêtement je ne vois pas comment

3) autre démo de (E)
Un groupe de n personnes (n\(\geq\)4), comprenant les personnes A et B, élit un comité de p personnes (p\(\geq\)2) choisies parmi ces n personnes (p\(\leq\)n-2)
a) combien peut-on former de comité ?
-----> (n p) = n!/p!(n-p)! comités
b) Parmi ces comités, combien contiennent : A et B ? ni A et ni B? A et pas B ? B et pas A ?
-----> A et B = 1comité ni A et ni B = supérieur ou égal à 1 A et pas B = supérieur ou égal à 2 B et pas A = supérieur ou égal à 2 , est-ce juste ? faut -il expliquer ces résultats avec un calcul ?
c) en déduire l'égalité (E)
-----> je n'ai pas d'idées

merci de bien vouloir m'aider
sandrine

[SoS-Math(10)]

Bonjour,
Voici quelques indications:
1)
---> donc : (n-2 p) = (n-2)!/p!(n-2-p)! ; (n-2 p-1) = (n-2)!/(p-1)!(n-p-1)! ; (n-2 p-2) = (n-2)!/(p-2)!(n-p)! ; (n p)= n!/p!(n-p)!
et (n-2)!/p!(n-2-p)! + 2 [(n-2)!/(p-1)!(n-p-1)!] + (n-2)!/(p-2)!(n-p)!
= ((n-2)![(n-p)(n-p-1)+2 p(n-p)+p(p-1)] ) / (p! (n-p)!)

2)(n-2 p) + 2 (n-2 p-1) + (n-2 p-2) = (n-2 p) + (n-2 p-1) + (n-2 p-1) + (n-2 p-2)

3) le comité contient p membres, il y a donc plusieurs comités qui ont A et B

sos math

[Invité]

Je vous remercie de m'avoir répondu assez vite grâce à votre aide j'ai su aboutir aux questions 1 et 2.
Mais pour la 3 j'ai encore qq pb:
a) combien peut-on former de comité ?
-----> (n p) = n!/p!(n-p)! comités EST-CE JUSTE?
b) Parmi ces comités, combien contiennent : A et B ? ni A et ni B? A et pas B ? B et pas A ?
-----> si j'ai bien compris la réponse se trouve dans l'énoncé pour pouvoir établir l'égalité (E): (n-2 p) ; (n-2 p-1) ; (n-2 p-2) ; (n p) est-ce bien ça? si c'est ça je ne vois pas pour l'instant à quoi ces résultats correpondent.
c) en déduire l'égalité (E)
-----> (n-2 p) + (n-2 p-1) + (n-2 p-2) + (n p) =1 peut-être faut-il partir de cette égalité ?

J'espère que vous pourriez m'apporter plus de renseignements.
merci d'avance
sandrine

[sos-math(12)]

Bonsoir Sandrine,

pour ton comité de p personnes comprenant A et B. Première remarque si p=2, le comité est déjà constitué ......
Si p>2, A et B étant choisis, il reste donc ........ personnes à choisir pour compléter le comité, et à choisir parmi ........... personnes restantes. Tu devrais pouvoir combler les vides facilement et donc trouver la bonne réponse.
Et tu veux qu'il ne contienne ni A ni B il te faut donc choisir .......... personnes parmi .......... A toi de combler les trous.
Bonne chance pour la suite.

A bientôt.

[Invité]

Bonsoir
voici ce que je propose :
"pour ton comité de p personnes comprenant A et B. Première remarque si p=2, le comité est déjà constitué de A et B. Si p>2, A et B étant choisis, il reste donc p-2 personnes à choisir pour compléter le comité, et à choisir parmi n-2 personnes restantes. Et tu veux qu'il ne contienne ni A ni B il te faut donc choisir .......... personnes parmi .......... "
Je ne suis pas sûre de ma réponse et pour la dernière phrase je n'ai pas d'idée.

pouvez vous me guider davantage?
Merci beaucoup

[sos-math(12)]

Bonsoir,

Ta première proposition est correcte.
Maintenant si tu ne veux pas de A et B dans ton comité, c'est la question b il me semble, tu n'as plus le choix entre n personnes mais ............ personnes. Et ton comité n'a aucun élément pour le moment. Il en reste donc ......... à choisir.
Pour le reste du problème il te suffit de raisonner selon le même schéma et tu ne devrais pas avoir de problème pour trouver la solution.

Bon courage.