question ROC

[Invité]

Bonjour,
prérequis : la limite de exp(x)/x vaut l'infini en l'infini.
Démontrer que la limite de ln(x)/x vaut 0 en l'infini.

Réponse proposée : la courbe de ln se déduite de celle de exp par la réflexion d'axe d' équation y=x donc, par symétrie, la courbe de ln admet en l'infini une branche parabolique de direction (0x) ce qui se traduit par le fait que 0 est la limite de ln(x)/x en l'infini.

Mais je n'utilise pas de façon EXPLICITE le prérequis et je ne vois pas comment procéder différemment, mis à part utiliser une démonstration ne faisant pas du tout appel au prérequis, comme par exemple sur le site : http://xmaths.free.fr/TS/questcours/TSdemcour08.htm

Merci pour votre aide,
Cordialement,
Cédric

[sos-math(12)]

Bonjour Cédric,

Il me semble que la démonstration attendue utilise la fait que la fonction ln est la réciproque de la fonction exp.
Il faut chercher dans cette direction.
Plus précisément pour x>0 exp(ln(x))=x et (ln(x)=b) équivaut à x=exp(b).

Bonne chance.

[Invité]

Bonsoir,
si x>0 posons Y=lnx alors ln(x)/x = Y/exp(Y) . Ainsi si x tend vers l'infini alors Y tend vers l'infini et comme exp(Y)/Y tends vers l'infini alors l'inverse Y/exp(Y) tends vers 0 en l'infini.
Est-ce correct ?
Merci
Cédric

[sos-math(13)]

C'est tout à fait cela.

Bon courage.