Bonjour
J'ai un petit problème :
Il s'agit de déterminer l'ensemble de définition et la dérivée de la fonction \(f(x)=x^x\)
Premièrement je voulais savoir si c'est exacte que c'est une application de R* dans R*+ et puis je trouve sa dérivée en prenant le log népérien de l'expression, soit \(ln(y)=x.ln(x)\) et donc \(f'(x)=x^x.(ln(x)+1)\) mais j'aurais voulu savoir si et comment le cas échéant il est possible de déterminer cette dérivée sans passer par ln.
merci pour votre aide
oscar
derivation
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Invité
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SoS-Math(10)
Re: derivation
Bonsoir,
Vous n'êtes pas loin d'une solution. En effet on peut écrire f(x) = exp ( x ln(x)) donc x est strictement positif.
sos math
Vous n'êtes pas loin d'une solution. En effet on peut écrire f(x) = exp ( x ln(x)) donc x est strictement positif.
sos math
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Invité
Re: derivation
bonjour et merci pour votre réponse
Il y a sans doute des notions fondamentales qui m'échappent sur les fonctions puissances et autres exponentielles. Par exemple je ne saisi pas pourquoi \(f(x)=x^x\) ne peut être définie pour x=-2 alors que \(\frac{1}{-2^2}=\frac{1}{4}\) existe bel et bien et de même pour tout x élément de N. Je comprend que suivant la définition \(a^x=e^{xlna}\) il faut a>0 sinon lna n'est pas définit, mais j'ai beau me répéter cette définition je ne comprend pas pourquoi on ne pourrait avoir une fonction discontinue du type \(f(x)=a^x\) avec a<0. Enfin, j'espère que c'est pas trop grave docteur.
merci, oscar
Il y a sans doute des notions fondamentales qui m'échappent sur les fonctions puissances et autres exponentielles. Par exemple je ne saisi pas pourquoi \(f(x)=x^x\) ne peut être définie pour x=-2 alors que \(\frac{1}{-2^2}=\frac{1}{4}\) existe bel et bien et de même pour tout x élément de N. Je comprend que suivant la définition \(a^x=e^{xlna}\) il faut a>0 sinon lna n'est pas définit, mais j'ai beau me répéter cette définition je ne comprend pas pourquoi on ne pourrait avoir une fonction discontinue du type \(f(x)=a^x\) avec a<0. Enfin, j'espère que c'est pas trop grave docteur.
merci, oscar
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sos-math(13)
- Messages : 1553
- Enregistré le : mer. 11 mars 2009 15:32
Re: derivation
Bonjour,
l'application est de R+* dans R+* et non de R* dans R+*, si on définit \(x^x\) à partir de l'exponentielle et du logarithme.
Cela n'empèche pas de sortir du domaine de l'analyse et d'effectuer sur les entiers des calculs comme \((-2)^{-2}\).
Mais on n'utilise plus la "fonction" et on perd toutes les propriétés de continuité, de dérivabilité, etc... qu'on a gràce à la définition par exp et ln.
On peut donc créer une fonction de Z- dans R (et plus précisément dans Q) qui à x associe \(x^x\).
Dès qu'on veut la passer de Q- dans R, ça bloque sur certaines valeurs (une infinité) comme par exemple \((-\frac{1}{2})^{(-\frac{1}{2})}\). Tu peux faire l'essai pour t'en convaincre.
Mais bon, hors du champ de l'analyse, tu perçois tout ce qu'on perd à vouloir étendre cette fonction vers les négatifs.
Bonne réflexion.
à bientôt.
l'application est de R+* dans R+* et non de R* dans R+*, si on définit \(x^x\) à partir de l'exponentielle et du logarithme.
Cela n'empèche pas de sortir du domaine de l'analyse et d'effectuer sur les entiers des calculs comme \((-2)^{-2}\).
Mais on n'utilise plus la "fonction" et on perd toutes les propriétés de continuité, de dérivabilité, etc... qu'on a gràce à la définition par exp et ln.
On peut donc créer une fonction de Z- dans R (et plus précisément dans Q) qui à x associe \(x^x\).
Dès qu'on veut la passer de Q- dans R, ça bloque sur certaines valeurs (une infinité) comme par exemple \((-\frac{1}{2})^{(-\frac{1}{2})}\). Tu peux faire l'essai pour t'en convaincre.
Mais bon, hors du champ de l'analyse, tu perçois tout ce qu'on perd à vouloir étendre cette fonction vers les négatifs.
Bonne réflexion.
à bientôt.
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sos-math(13)
- Messages : 1553
- Enregistré le : mer. 11 mars 2009 15:32
Re: derivation
Au fait,
non, ce n'est pas grave de se poser ces questions, et c'est même bon signe...
non, ce n'est pas grave de se poser ces questions, et c'est même bon signe...
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Invité
Re: derivation
bonjour
Voici quelques jours que je marine dans votre réponse mais des doutes subsistes, par exemple si on considère la fonction \(f(x)=\sqrt{x}\) définie pour x E R+, est ce que dans le cadre de l'analyse on peut écrire \((f(x))^2=\sqrt{x}^2=\sqrt{x^2}=x\) avec cette fois x E R ?
merci
Oscar
Voici quelques jours que je marine dans votre réponse mais des doutes subsistes, par exemple si on considère la fonction \(f(x)=\sqrt{x}\) définie pour x E R+, est ce que dans le cadre de l'analyse on peut écrire \((f(x))^2=\sqrt{x}^2=\sqrt{x^2}=x\) avec cette fois x E R ?
merci
Oscar
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SoS-Math(1)
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- Enregistré le : mer. 5 sept. 2007 10:48
Re: derivation
Bonjour Oscar,
f est définie sur \([0;+\infty[\), pour tout x de cet intervalle, \(\left(f(x)\right)^2=x\).
Par contre, pour tout x appartenant à l'ensemble des nombres réels, \(\sqrt{x^2}=|x|\).
Bon courage.
f est définie sur \([0;+\infty[\), pour tout x de cet intervalle, \(\left(f(x)\right)^2=x\).
Par contre, pour tout x appartenant à l'ensemble des nombres réels, \(\sqrt{x^2}=|x|\).
Bon courage.
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Invité
Re: derivation
Si j'ai bien compris,
avec \(f(x)=\sqrt{x}\), fonction définie \(\forall{x}\in{R_+}\) et \(g(x)=x^2\), fonction définie \(\forall{x}\in{R}\)
alors \(g\circ{f}=\sqrt{x}^2\) est une application de R+ dans R+
et \(f\circ{g}=\sqrt{x^2}\) est une application de R dans R+
c'est correcte?
merci pour votre aide
avec \(f(x)=\sqrt{x}\), fonction définie \(\forall{x}\in{R_+}\) et \(g(x)=x^2\), fonction définie \(\forall{x}\in{R}\)
alors \(g\circ{f}=\sqrt{x}^2\) est une application de R+ dans R+
et \(f\circ{g}=\sqrt{x^2}\) est une application de R dans R+
c'est correcte?
merci pour votre aide
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SoS-Math(7)
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- Enregistré le : mer. 5 sept. 2007 12:04
Re: derivation
Bonsoir,
Vous avez bien compris nos remarques !
A bientôt
Vous avez bien compris nos remarques !
A bientôt