fonction 1/cos²

[Invité]

salut , SoS math ;)
bein j'ai un petit problème, pourtant j'ai pas réussi à trouver aucune réponse
donc j'ai besoin d'aide ;)

On donne f(x) =\(\frac{1}{cos^2(x)}\) x\(\in\)[/tex][0,\(\frac{\pi}{2}\)[
1)a) montrer que f admet une fonction réciproque \(f^{-1}\) continue sur un intervalle J que l'on précisera .
b) préciser le domaine de dérivabilité de\(f^{-1}\)et expliciter (\(f^{-1}\))'(x)
c) Tracer les courbes ( pas de problèmes ici)
2) n\(\in\)N* on pose Un=\(\frac{1}{n+1}\)[\(f^{-1}(n)+f^{-1}(n+1)+.....+f^{-1}(2n)\)]
a)Montrer que quelque soit n\(\in\)N*
on a \(f^{-1}\)(n)\(\leq\)Un\(\leq\)\(f^{-1}\)(2n)
b) la suite (Un) est-elle convergente ?????
3) on donne h(x)= \(f^{-1}\)(\(\frac{1}{sin^2(x)}\)) quelque soit x\(\in\)]0,\(\frac{\pi}{2}\)] et h(0)= \(\frac{\pi}{2}\)
a)Montrer que h est continue sur [0,\(\frac{\pi}{2}\)]
b)Montrer que h est dérivable sur ]0,\(\frac{\pi}{2}\)[ et calculer h'(x)
c)En déduire h(x) quelque soit x\(\in\)[0,\(\frac{\pi}{2}\)]

j'ai trouvé pour la premiére question que f'(x) = (2Sin(x)) / \(cos^4(x)\) ,positif donc f croissante , et elle réalise une bijection vers [0 ,+\(\infty\)[
pour le reste je suis totalement bloquée et j'ai essayé plusieurs fois
merci BCP
khaled (le PLUS grand FAN de votre site)
:D

[SoS-Math(10)]

Bonjour,
2)a)Comme f est croissante, on connait le sens de variation de sa réciproque.
b) Lorsque l'on a un encadrement et une recherche de limite, on doit penser à certain théorème.

sos math

[Invité]

bonjour
merci , mais je veu savoir si ma dérivé est juste , et comment répondre sur la 1)b)
et que faut-il faire pour préciser le domaine de dérivabilité de f^{-1} ???? et pour l'expliciter , je suis bloquée au niveu de \(cos^2(y)=(1/x)\)
aidez moi SVP , merci
khaled

[sos-math(13)]

Bonjour Khaled,

non ta dérivée n'est pas correcte.
Pour dériver correctement, tu dois te servir des formules suivantes :
\($(u^n)'=nu'u^{n-1}$\)
\($(\frac{u}{v})'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$\)

Puis, pour obtenir la dérivée de \(f^{-1}\) explicitement, tu peux utiliser les formules :
\($(uov)'=u'ov\times{v'}$\)
\(uou^{-1}=Id\) où \(Id\) est la fonction identité (donc celle qui à \(x\) associe \(x\)).

Avec tout ça tu as déjà de quoi faire.

Bon courage.

[Invité]

c bon ,merci
j'ai fait une faute lol ,j'ai trouvé \(cos^3(x)\)au dénominateur
c bon pour b , 2)a) ,mais pour 2)b) j'ai calculer la lim quand x tend vers +00 de Un et j'ai trouvé , \(\pi\)/2 , donc je peu dire qu'elle est majorée pas \(\pi\)/2 donc elle converge ??????
et un peu d'aide au niveau de 3)a), 3)b) et 3)c) aussi , (SVP un peu plus de détails)
merci
khaled

[sos-math(13)]

Bonjour Khaled,

quelle est la fonction dont tu as calculé la limite ?

Si c'est \(f^{-1}\) en \(+\infty\), alors le théorème des gendarmes permet de conclure.
Dire qu'elle est majorée ne serait pas suffisant, puisque tu n'as pas montré qu'elle était croissante. Or le théorème de la limite monotone que tu sembles évoquer nécessite une fonction majorée ET croissante (ou minorée ET décroissante).

Pour la 3a, il n'y aura de problème de continuité qu'en 0, là où le dénominateur s'annule. Mais on te donne \(h(0)=\frac{\pi}{2}\). Tu sens venir le prolongement par continuité. Il faut alors montrer la continuité à droite en 0. C'est à dire que \(\lim_{h\to{0^+}}f(0+h)=f(0)\).

La dérivabilité obtenue par les théorèmes de composition sur des ouverts, ne posera pas de problème sur l'intervalle cité. Tu peux essayer de montrer la non-dérivabilité aux bornes en passant par la limite de \(\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\) en \(x_0=0\) et en \(x_0=\frac{\pi}{2}\)

Amuse toi bien.

[Invité]

bonjour
oué j'ai calculé la lim de\(f^{-1}\) en + 00 et j'ai rouvé \(\pi\)/2 ,je dois donc conclure que la lim en +00 de Un est \(\pi\)/2 , donc elle est majorée par \(\pi\)/2 , c'est ça la conclussion ?????
et comment je dois montrer qu'elle est croissante ???
pour le reste c'est bon j'ai trouvé la réponse
Merci \(BCP\) \(bcp\) \(BCP\)
khaled

[sos-math(13)]

Bonsoir Khaled,

je n'ai pas dit qu'il fallait montrer qu'elle était croissante. Là, elle est encadrée par deux suites de même limite. Le théorème des gendarmes permet de conclure. Pourquoi te limiterais-tu à la majoration alors que tu as aussi une minoration ?

de rien DE RIEN de rien !

à bientôt sur sos-math.

[Invité]

bein ,les gendarmes permet de conclure koi ????
je trouve pas désolé !!!!
\(khaled\)

[sos-math(13)]

Bonjour Khaled,

Mais que fais la police ?

2a)Montrer que quelque soit n\(\in\)N*
on a \(f^{-1}\)(n)\(\leq\)Un\(\leq\)\(f^{-1}\)(2n)
b) la suite (Un) est-elle convergente ?

Or tu as montré que la limite de \(f^{-1}\) à l'infini était \(\frac{\pi}{2}\).
Mais quand \(n\to+\infty\), on a aussi \(2n\to+\infty\), donc les bornes de l'encadrement ont la même limite quand \(n\to+\infty\) : \(\frac{\pi}{2}\).

Par conséquent, coincé entre deux gendarmes qui le serrent de plus en plus près, le pauvre \(u_n\) ne peut plus s'échapper et doit les suivre jusque vers \(\frac{\pi}{2}\). D'où le résultat.

Ça te va ?

à bientôt.

[Invité]

lol , c'est bon j'ai bien compris
merci !! khaled

[sos-math(13)]

Parfait.

à bientôt sur sos-math.